Интегрирование функций по выпуклым областям решетчатыми кубатурными формулами на многопроцессорных вычислительных системах

• Автор: Рахматуллин, Джангир Ялкинович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 114 с. : ил.

§1 Основные положения диссертации

§2 Краткая история вопроса

§3 Список основных обозначений

I Численное интегрирование по многомерным областям

§1 Общая постановка проблемы

§2 Алгоритм

§3 Модификация алгоритма

§4 Программа

§5 Вычислительный эксперимент

II Наилучший порядок приближения интегралов функций из

§1 Постановка задачи
§2 Теорема о достижении наилучшего порядка на решетчатых
формулах
§3 Вычислительный эксперимент
Заключение
Литература
Приложение
Приложение

§1. Основные положения диссертации
Любая теория аппроксимации заинтересована в максимально эффективном практическом использовании математических алгоритмов, этой теорией построенных и обоснованных. Эта проблема особенно актуальна в наши дни, когда вычислительная техника стремительно морально устаревает, уступая место новой, отличающейся порой не только мощностью компонентов, но и принципиально иной архитектурой.
Дело усложняется тем, что стоящая перед потребителем задача, как правило, имеет не один способ решения (часто в рамках нескольких сильно разнящихся теорий), что порождает неизбежную конкуренцию между имеющимися на данный момент алгоритмами. Они могут значительно различаться по своим характеристикам — количеству требуемых операций, устойчивости, наличием теоретических оценок погрешности вычислений, гибкости к изменению входных параметров и т.п.
Поэтому пользователь, для которого, в конечном счете, и создается теория, применяя ее результаты для решения своей задачи, несет важную функцию естественного индикатора практической пользы того или иного алгоритма.
Однако следует учесть, что любой математический алгоритм является в известной мере абстракцией и сравнение нескольких алгоритмов решения одной задачи, по большому счету, бессмысленно до тех пор, пока каждый из них не найдет свое воплощение в конкретной реализации — программе, написанной на каком-либо языке программирования под некий класс вычислительных систем. Только тогда можно будет оценить характеристики решения задачи, имеющие непосредственную важность для пользователя, — максимальную точность вычислений, время, необходимое для достижения заданной точности, системные требования (необходимая оперативная память, частота процессора компьютера и т.п.), скорость и эффективность вычислений (для многопроцессорных систем). Не нужно забывать о таких важных качествах программы, как настраиваемость, до-

кументированность, а также трудоемкость написания (отражающаяся, в конечном счете, на ее цене).
Из сказанного следует, что любой алгоритм, как бы ни был он хорош теоретически, не будет востребован на практике при отсутствии на данный момент его эффективной реализации, максимально использующей возможности современной вычислительной техники. Опыт показывает, что в связи с прогрессом вычислительной техники, алгоритмы, когда-то пользовавшиеся популярности, уступали первенство другим, лучше реализованным (например, на многопроцессорной технике). Следовательно, понятия «хороший» и «плохой» алгоритм весьма относительны, главным критерием истинности знания по прежнему остается практика.
Вот почему так важно квалифицированное отображение математических достижений в «механическую» плоскость.
Объектом исследования данной диссертации является приближенное интегрирование функций по многомерным областям (УДК 519.644 + 517.518.87).
Объект исследования представляет значительный интерес для широкого круга прикладных задач атомной физики, квантовой химии, статистической механики, может использоваться для решения интегральных уравнений, задач математической физики и т.д.
На сегодняшний день задача приближенного интегрирования по многомерным областям решается в рамках нескольких теорий кубатурных формул.
Кубатурной формулой (КФ) К^(ф) назовем линейный функционал, задающий приближенное значение интеграла /п(/) = / дхф(х) в виде линейной комбинации значений функции / Е в N произвольных точках — узлах кубатурной формулы:
ХХлгЩ“1), К“’! _ е г.

Перечислим основные методы построения кубатурных формул.
• Вероятностные методы типа Монте-Карло.
# Методы построения формул высокого алгебраического порядка (точных на многочленах большой степени) и инвариантных относительно
некоторой группы изометрических преобразований.
Таблица 1.6. п=4. Погрешности вычислений
N М 2 3
60 4.78Е-06 1.18Е-05 9.68Е
70 3.84Е-07 5.42Е-09 1.28Е
80 1.13Е-07 6.51Е-10 4.56Е
90 4.78Е-08 1.24Е-11 5.18Е
100 2.22Е-08 1.33Е-11 7.57Е
150 1.48Е-08 1.74Е-11 3.35Е
200 8.47Е-09 9.85Е-11 1.92Е
250 2.81Е-09 1.04Е-11 1.31Е
N М. 5 6
60 1.32Е-04 1.67Е-03
70 9.87Е-10 5.12Е-08
80 2.87Е-10 3.49Е-10
90 5.37Е-11 7.98Е-11
100 4.55Е-11 8.06Е-11
150 1 1.52Е-11 1.32Е-11
200 7.21Е-12 8.68Е-12
250 1.55Е-12 1.65Е-12
Таблица 1.7. п=10. Результаты вычислений
N М
10 0.002448461315145
11 0.002375399819127
12 0.002575455835213