Исследование решений нелинейного уравнения типа Шредингера

• Автор: Владимиров, Михаил Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 c. : ил

Глава I. Смешанная задача для нелинейного

уравнения Шредингера

§ I. Обозначения и вспомогательные

утверждения

§ 2. Теоремы существования

§ 3. Теоремы единственности

Глава II. Численное исследование решений

нелинейного уравнения Шредингера. 69 § I. Распространение волновых пучков в нелинейных слабопоглощающих
средах

§ 2. Распространение платообразных

пучков в нелинейных средах

Литература
Примечание

Распространение световых волн в нелинейных средах в последнее время привлекает большое внимание. Интерес к этому вопросу связан прежде всего с тем, что особенности распространения световых пучков в среде существенно влияют практически на все широко изучаемые в настоящее время явления нелинейной оптики, например такие, как вынужденное комбинационное рассеяние, вынужденное рассеяние Манделыптама-Бриллюэна, оптический пробой в газах и диэлектриках и другие. Правильная интерпретация исследований этих явлений во многих случаях целиком определяется картиной распространения пучка.
Выяснение данной картины и безотносительно к указанным явлениям носит тоже принципиальный характер. Достаточно провести сравнение с линейной оптикой, развитие которой было бы трудно себе представить без знания основных особенностей распространения света в линейных средах. Совершенно аналогично решение вопроса о картине распространения света в нелинейных средах играет такую же важную роль в развитии нелинейной оптики.
Распространение световых пучков в нелинейной среде описывается волновым уравнением
д I - X- ?*е
где Е. - вектор электрического поля пучка, £ - параметр,
характеризующий диэлектрическую проницаемость среды.
Наибольший интерес представляют световые пучки, получаемые в лазерах в импульсном режиме генерации, для которых основной вклад в нелинейность среды вносит эффект Керра. В тех случаях, когда время установления эффекта Керра намного меньше характерных времен изменения интенсивности !=/£/ света заданной
поляризации, показатель преломления среды в любой точке является функцией 2. [30 ]
к=.п(1)=. П0 + П2 !+■■■ , П2 >0. (0.1)
Выражение для диэлектрической проницаемости имеет следующий вид:
£ - 8 (I) ~ 2о + £2 — + / £о~ ^о <>
Считая, что волна монохроматическая, то есть
7? -* і (М І
£ (х,У,г8) = Е(х,у,г)е
ДЛЯ с учетом (0.1),(0.2), получаем уравнение
Гельмгольца
^ Е + ИЁ +кг^ЧЕ1гЕ * кг ІЕҐЕ-0, <о.з)
где волновое число К ~ дг По > - центральная частота
колебаний поля в пучке.
Выбирая систему координат, направление оси Я которой
совпадает с центральным напылением распространения интересу-
~/ *“ с к ?
ющего нас светового пучка, и полагая о — /і Є ,
из уравнения (0.3) выводим уравнение для одной компоненты линейно поляризованного света А ~ ( А^О;0)
її к|| =лА + кг1^1А]гА+к2%1А1‘,А.<°-4>
Пользуясь методом медленно меняющейся амплитуды [б],уравнение (0.4) можно заменить уравнением

При условии Ср ' ^ 1 , которое совпадает с условием 2), можно применить лемму 1
|| дикЦ*4 [срЦ^ ДЁ<)Нт(д$

Отсюда, воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского и сокращая на Ц Л 2/к II , выводим оценку
иилн(Ср+1)\22г1. (2-49)
Принимая во внимание (2.28), из (2.49) заключаем, что справедливо утверждение (2.48).
Из (2.48) аналогично предыдущему заключаем, что из последовательности приближенных решений можно выделить
подпоследовательность [^-«1 такую, что
ДЫ,^ ДЧ % _ слабо в !^оо(0;Т^22(А])/ (2.50)
где Д <и £ Е (УО (0; !][-■. £ С2>)) „
Учитывая (2.38) и применяя лемму 1.9, убеждаемся, что обобщённое решение К (Х;£) € Ч с>о (% (&У)-Теорема доказана.
Замечание. В случае р — Д теорема 2.2 также верна
Ы\Гр+7
Действительно, аналогично с теоремой 2.1, при указанных условиях можно получить оценки (2.25) и (2.35) и сделать вывод о справедливости утверждений (2.26) и (2.28). Следующие этапы доказательства теоремы 2.2 не изменяются.
при дополнительном условии р