О методах численного решения и исследования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Чистяков, В.Ф.
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 142 c. : ил

Глава I. ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВВДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
п.1.1. Обозначения
п. 1.2. Свойства переменных матриц
п. 1.3. Свойства пучков переменных матрщ
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
п.2.1. Общие сведения
п.2.2. Свойства линейных систем, удовлетворяющих критерию "ранг-степень"
п.2.3. Численные методы,решения задачи Коши для систем,
удовлетворяющих критерию "ранг-степень"
п.2.4. Сведения о системах не удовлетворяющих критерию
"ранг-степень"
п.2.5. О методах решения систем не удовлетворяющих критерию "ранг-степень"
п.2.6. Методика исследования линейных сингулярных систем и общие замечания
Глава 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
п.3.1. Теоремы существования
п.3.2. Методы решения систем нелинейных уравнений, удовлетворяющих критерию "ранг-степень"
п.3.3. Сведения о системах не удовлетворяющих критерию
"ранг-степень" и общие замечания
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

13?

Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах сводится к изучению их математических моделей, представляющих системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
^(я,£с ,£) = о, (В.І)
где ^ кт . Доминирующее положение занимает изучение систем ОДУ разрешенных относительно производных или,как часто говорят,приведенных к форме Коши. Меньшее, но все же значительное внимание привлекали всегда и системы, не разрешенные относительно производной. В различные периоды центральное положение занимало изучение различных классов таких систем. Исторически первыми изучались системы, состоящие из одного уравнения с одним неизвестным. Современное состояние этой теории отражено в[і, с.22]. Изучение линейных систем ОДУ с матрицей перед производными, которая вырождается в точке, привело к возникновению мощных теорий, изложение которых можно найти например в [31, с.90], [ 14]. Но в последнее десятиление в связи с тем, что в различных областях приложений математические модели процессов описываются взаимосвязанными системами алгебраических и дифференциальных уравнений, значительный интерес привлекают системы вида (В.І), у которых якобиан ^ ■ вырождается
в некоторой области изменения переменных (р, я, і) , имеющей ненулевую меру в &2п*у . Скажем немного о терминологии. Ряд зарубежных авторові, например, И.Магг, С.¥.0еаг, Ь.РеігоІсІ употребляет для обозначения систем такого рода словосочетания:
"differential-algebraic equation's system".
В отечественной литературе, а также зарубежной, используется такой термин: "сингулярные системы ОДУ11, например Ю. В. Бояринцев, Б.ь.сатрЬеіі. Этого же термина придерживается автор данной работы. В ходу также названия: "системы,не разрешенные относительно производных", "системы,не приведенные к форме Коши". Перед обзором литературы рассмотрим ряд примеров линейных систем ОДУ вида
где Aft), B(t) - fm*п) - матрицы, х(£)^{я)- искомая и заданная вектор-функции соответственно. Пусть заданы системы
где Ь е . Легко проверить, ЧТО если 1);^) ^ о ¥£<£7,
I ~ /71 , то при достаточной гладкости входных данных системы (В.З), (В.4), (В. 5) разрешимы для , а их общие решения можно записать в виде
А(t) x(t) = В ft) я ft) +fft) , te [°6>О0], (В. 2)
(В.З)
(B.4)
(В. 5)
У** ft) #**fb.
£ &t(t)
(B.6)

из (2.2.20) видим, что они различаются только знаком. Теорема доказана.
Замечание. Очевидно, что если Mf = о, te[oCy(f>] , то система (2.1 Л) в условиях теоремы удовлетворяет критерию "ранг-степень”.
Приведем пример системы удовлетворяющей условиям теоремы
2.2.5. Если выполнены неравенства со ф о , со ф -/ ,
то система а я я(£) = (С%> {)&(&)> te[ott(/a] удовлетворяет условиям теоремы, причем s=o, р = о , г =
п.2.3. Численные методы решения задачи Коши , для систем удовлетворяющих критерию "ранг-степень"
В этом параграфе обосновывается ряд численных методов решения задачи (2.I.I), (2*2.5) в предположении, что выполнены условия
I. Система (2.I.I) удовлетворяет на [°с}с/э] критерию "ранг--степень";
П. zank А(оС) = vank {AM, В (об) сс +(ffoC)}
Как следует из теоремы 2.2.1, если А (t), В(t)f(t)e Ce([ot,f]),£>/, то cc(t) - решение задачи Коши существует, единственно и принадлежит Ce([oCyc/3j)
Пусть входные данные задачи Коши возмущены и нам приходится решать задачу вида
Ä(t)tjr(t) =8(t)#(t)+cf(t),if(oC)=a,te[o6,j3], (2.3.1)
где A(t) - A (t) *j)f (t), B(t) -B(t) = i)2(t) , (fft)-f(t)
= (t) , а -06=^ , ( (t), i=i, 1)4 - некоторые малые
возмущения входных данных. В этом параграфе для упрощения запи-