Разработка алгоритмов случайного блуждания для решения нестационарных задач математической физики

• Автор: Курбанмурадов, Оразгелды
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 159 c. : ил

ШВА I. АЛГОРИТМ БЛУЖДАНИЯ ПО ГРАНИЦЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

§1.1. Постановка задачи и основные определения

§1.2. Алгоритмы случайного блуждания по границе для

решения интегральных уравнений теории тепловых

потенциалов

§1.3. Учет неоднородностей в правой части и в началь-

. ном условии уравнения теплопроводности

§1.4. Доказательство конечности дисперсии и иссле-,.

. . дование трудоемкости. Метод установления

§1.5. Вычисление производных на границе области от

решения первой краевой задачи с однородным

граничным условием
ГЛАВА 2. МЕТОЛЫ БЛУЖДАНИЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ И - ИССЛЕДОВАНИЕ
ИХ ТРУДОЕМКОСТИ
§2.1. Соотношение о среднем.для.уравнения теплопро-,
водности
§2.2. Алгоритм блуждания по сферам для решения урав-
. . нения теплопроводности и±- дги Сх^)
§2.3. Алгоритм блуждания по сферам для решения.уравнения Аисх^)+са,-ь>гб=: £с
§2.4. Оценка среднего числа шагов до попадания в е.--окрестность границы.в алгоритмах блуждания.. . внутри области

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ
§3.1. Соотношение о среднем для параболического уравнения второго порядка.с переменными коэффициентами.
при младших членах
§3.2. Решение задачи Коши для уравнения (1.1) методом
. Монте-Карло
§3.3. Решение первой краевой задачи для.уравнения.(1.1)
. . методом блуждания по сферам
§3.4. Использование сопряженных задач для оценивания
многих функционалов методом Монте-Карло
ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ' МОДЕЛЬНЫХ' И ПРИКЛАДНЫХ' ДОФФУЗИШНЫХ ЗАДАЧ
§4.1. Численные эксперименты по сравнению алгоритмов
. блуждания по сферам и границе
§4.2. Численное решение задачи о диффузионном осаждении полидисперсных.аэрозолей в трубах методом.блуждания по сферам
ПРИЛОЖЕНИЕ. Некоторые оценки, используемые при исследовании.
.трудоемкости алгоритмов блуждания внутри.области
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

В последнее время методы статистического моделирования, традиционно используемые в задачах теории переноса и статистической физики (см., например, [15, 16, 32] )получили интенсивное развитие при решении многомерных краевых задач математической физики. Большой интерес к данному подходу вызван рядом причин, связанных как с перспективой создания новых эффективных численных методов для решения практических задач, так и с наличием глубоких связей между дифференциальными уравнениями и случайными процессами, требующих всестороннего изучения. Такая связь известна уже давно: теория дифференциальных уравнений широко использовалась в теории вероятностей. Например, А.Н.Колмогоров [21] показал в 1931г., что переходная функция Pet, Г) - вероятность того, что броуновская частица, вышедшая из точки х , через время 'Ь попадает в множество Г, удовлетворяет некоторому параболическому дифференциальному уравнению.
С другой стороны, аппарат теории вероятностей с успехом применялся при исследовании краевых задач; отметим, в частности, работы Р.Куранта, К.Фридрихса, Н.Леви [58], К.Дуба[59], Е.Б.Дын-кина [ю], А.Д.Вентцеля [з] , и др.
В методах Монте-Карло также использовались вероятностные представления решений краевых з;адач.:в виде континуальных интегралов, при этом соответствующий стахостический процесс аппроксимировался дискретным случайным блужданием (см. например,[7,8]).
Этот подход прост в реализации, не требует большой памяти ЭВМ, но является сравнительно трудоемким из-за необходимости

Глава II
МЕТОДЫ БЛУЖДАНИЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ ТРУДОЕМКОСТИ
§ 2.1. Соотношение о среднем для уравнения теплопроводности.
Пусть 0. - область в ( и-м )-мерном эвклидовом пространстве к*', точки которого будем обозначать через (*і,хр, *) =
=■ С^| * В этом параграфе мы будем рассматривать уравнение
теплопроводности
решение уравнения (I.I), где Bit)- функция Хевисайда, т.е. (?(() = 0, если 0 и B(t)='i1 если 0»
Введем функцию 2’1x,t)~ Z(x,t)-Cn/2j - зависящую о: положительного параметра d? 0. Определим семейство областей (x,t) , зависящих от положительного параметра d- и точки
Через 'ЭШ^гх,t) будем обозначать границу iil^cx, t) , т.е.
lit-AUCx.t) -г -pCXft), C*|t)cQ.
■3+ (І.
Пусть ЯСх,^= 6Ш (Ч'її'-Ь) -фундаментальное
(1,1)
(1.3)
(В)
Определим также. области Сх^) , зависящие от параметров О < р ^ о1 и точки (*» £ ) ■> полагая
= ШАСх,Ь)і nn^ft-V).
(1.4)