Проекционно-сеточные методы для стационарного и нестационарного уравнения 4-го порядка с негладкими данными

• Автор: Киреева, Ольга Ильинична
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Применение пространства 62 [х] к решению
краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка
§1.1. Существование и единственность решения. Регулярность
§1.2. Пространство Ба [х] • Оценки погрешности интерполяции

§1.3. Основной метод, использующий сплайны из 5г[х],
построенные по старшему коэффициенту
§1.4. Модификации основного метода

§1.5. Пример финитного базиса пространства ^[х]
и система сеточных уравнений

ГЛАВА 2. Применение пространства 5д[х] к решению
краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка
§2.1. Пространство 6*1 [х]. Оценки погрешности интерполяции

§2.2. Основной метод, использующий сплайны из ^[х],
построенные по старшему коэффициенту
§2.3. Модификации основного метода.;;;

§2.4. Пример финитного базиса пространства 3] Ы
и система сеточных уравнений
§2.5. Пространство обобщенных сплайнов 2т-той степени
ГЛАВА 3. Проекционно-сеточные методы для нестационарного
уравнения 4-го порядка
§3.1. Существование и единственность решения
начально-краевой задачи. Регулярность
§3.2. Проекционно-сеточный метод с весами
§3.3. Оценки погрешности дробного порядка на классах
негладких данных
§3.4. Оценки погрешности в послойной норме
§3.5. Оценки погрешности в равномерной норме
ЛИТЕГАТУГА

ВВЕДЕНИЕ
Построение и исследование методов решения дифференциальных уравнений с негладкими (разрывными, сосредоточенными, быстроосциллирующи-ми) данными — коэффициентами, правыми частями, начальными функциями и т.д. — является важной теоретической и практической задачей.
Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с кусочно-непрерывными коэффициентами А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским была развита теория однородных разностных схем (см. о ней в [29]). Для аналогичных задач Г.И.Марчук предложил метод решения, основанный на использовании специальных интегральных тождеств (см. [24]). Несколько позднее стал развиваться проекционно-сеточный метод (см. [26], [32], [33], [24]) со специальными базисными функциями, зависящими от старшего коэффициента уравнения (см. [10], [39], [9], [36], [2], [3], [38] и др.).
Статические и динамические колебания балок и стержней описываются стационарными и нестационарными уравнениями с обыкновенным дифференциальным оператором не второго, а четвертого порядка (см. [27], [8]). Перечисленные выше подходы нашли применение и для их решения при негладких данных в стационарном случае в работах А.А.Самарского, Хао Шоу [31], А.А.Самарского, В.Б.Андреева [30], Г.И.Марчука, В.И.Агошкова, А.И.Степанова [24], [1], В.Г.Корнеева [22], И.Д.Туретаева [35], В.Б.Андреева, Г.Д.Андреасяна [4], А.А.Клунника, В.Г.Приказчикова [21] и др. Предлагались и другие подходы, в частности, Р.З.Даутовым, В.Н.Паймушиным [11]. Однако в целом случай уравнений четвертого порядка оказался существенно более трудным и недостаточно полно изученным. Что касается соответствующих нестационарных уравнений, то некоторые результаты были получены А.А.Злотником [14] и А.З.Ишмухаметовым [18], [19], однако этот случай оказался изученным мало. Таким образом, построение и исследование эффективных методов решения задач с операторами четвертого порядка с негладкими данными остается актуальной проблемой.
Цель работы состоит в построении и исследовании специальных проекци-

онно-сеточных методов для решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка и соответствующей начально-краевой задачи (второго порядка по времени) с негладкими данными.
В работе широко используется теория проекционно-сеточных методов, теория обобщенных решений дифференциальных уравнений и пространств Соболева, теория интерполяции операторов в банаховых пространствах.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Сформулируем основные результаты диссертации.
В главе 1 изучены проекционно-сеточные методы решения краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка, использующие обобщенные кусочно-”кубические” сплайны дефекта 2.
В §1.1 сформулирована краевая задача для обыкновенного самосопряженного дифференциального уравнения 4-го порядка
Lu = D2(a,2D2u) — D{aDu) -f а^и = f в П = (О, X); (1)
Нэп = 0’ Dudn = 0, (2)
где D = d/dx, dfl = {0,X}, а / = /(°) + Df^> + D2f(2 Предположим, что lla2|li00(n) <^4 -^"-1 5- 02(2) на О, где N > 1 — параметр. Условимся, что ниже Dw ■ ip = (Dw)ip. В качестве обобщенного решения задачи (1), (2)

рассматривается функция и Е W2 (П), удовлетворяющая тождеству £(щ ср) = (a2D2u, D2ip) + (ai,Du ■ Dip) -f (а0, uip) = (/, ip) =
= U(0v) - (f(,o В работе, как обычно, Wp(fi) = {го 6 Wp(il)| DkwdQ = 0, 0 < к < (.}, где 1Фр(П) — пространства C.Jl.Соболева с I > 1, 1 < р < сю, и 1/р + 1/р7 = = 1. Кроме того, (из,ф) = fQw(x),ip(x)dx или, общее, значение функционала w на элементе ф. Предполагается, что билинейная форма £{-,■) обла-
2 ° дает свойством N~l ||<р|!щ|(П) < £{<р,р>) V

обобщенные производные. Пусть ей о — фиксированное множество точек
О = ж0,о < а?0,1 < ••• < хо,п0 = х (о > !)• Пусть i > 1, и функция

Ц2 ю = —Л2(а2ги) + 2А — ■ Л(а2иО + А“— • а^и)
02 «2
с и; = А2 и при £=1,2 соответственно.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.4.1. В п.1 можно расширить условия на Аа2. Так,
при £ = 1 можно заменить \Da-

Ьр{П)
с некоторым р £
£ [р,оо], и тогда ниже в (1.4.1) следует заменить 1/г' на тш{1/г', 1/2 — 1/р}. Построим другой упрощенный метод, при анализе которого какая-либо

гладкость 02 уже не потребуется. Пусть приближенное решение у £ 52[°г] удовлетворяет тождеству
£(1)(у,<р) = (а2А2у, А2ср) + (о1,п41)Р • Ба^ф) + {а0,з{21]у ’ в^ф) =
= (/(0)>41}^) - (/{1),п41)р) + (/(2), А2р) Ур £ 52[о2] . (1.4.3)
Ограничимся случаем, когда НоцЦь^о) + ||ао||щт(п) < А, и потребуем,

чтобы а > 0 и а о > 0 (т.е. (ао,^2) > 0 для всех *ф € тогда

(1.4.4)
Требование |Л[ < ко с достаточно малым /го = Ло(А, А) > 0 также позволяет гарантировать свойство (1.4.4) (с 2А в роли А); оно следует из свойства (1.1.4) и оценки (1.2.3) ся=1.
При помощи свойства (1.4.4) получается оценка (ср. с (1.3.2))

Щ|(П)

из которой вытекает существование и единственность функции у.
ТЕОРЕМА 1.4.2. Пусть 1 < г < р < 2. Пели выполнено одно из условий:
а) 11а1|1ц,,(П) + 11®о||шт71(п) — ^!
б) 1Ы
Ь оо (П)
+ Ваг
£Г(П)
+ ||а0|
ЬГ(П)

то при / = А2/(2) верна оценка
<кщк+1~{1/р~1/г,)
(а 2)

(1.4.5)