Построение и исследование неконформного метода конечных элементов для решения задачи Стокса с разрывным коэффициентом

• Автор: Рукавишников, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 146 с. : ил.

® Введение ...'

Глава 1. Построение неконформного метода конечных элементов для двумерной задачи Стокса с разрывным коэффициентом в эллиптическом операторе

1.1. Классическая постановка задачи Стокса

1.2. Основные обозначения и определения пространств

1.3. Обобщенная постановка задачи Стокса

1.4. Существование и единственность обобщенного решения задачи Стокса

1.5. Схема метода конечных элементов

^ 1.5.1. Триангуляция исходной области

1.5.2. Определение конечно-элементных пространств на подобластях

1.5.3. Определение мортарного конечно - элементного пространства на интерфейсе между подобластями

1.5.4. Свойства конечно-элементных пространств

1.5.5. Определение приближенного решения задачи Стокса
Глава 2. Получение оценок скорости сходимости задачи Стокса с разрывным коэффициентом
2.1. Аналог второй леммы Стрэнга
2.1.1. Существование и единственность приближенного решения задачи Стокса
2.1.2. Формулировка и доказательство аналога второй леммы Стрэнга
2.2. Оценка скорости сходимости (у — в норме
* И (р-р/г) В норме X/,(ГА)
2.2.1. Вспомогательные утверждения
2.2.2. Получение оценки скорости сходимости
2.3. Оценка нормы (у — в 1<2(Г4)
Глава 3. Численная реализация неконформного метода
ф конечных элементов для задачи Стокса с разрывным
коэффициентом
3.1. Постановка дифференциальной задачи
3.2. Конечно-элементное представление
3.2.1. Функциональный вид
3.2.2. Алгебраический вид
3.2.3. Конечно-элементная аппроксимация
3.2.4. Преобразование полученной системы линейных уравнений
3.3. Построение итерационного процесса
3.4. Численный эксперимент и анализ результатов
Литература
Настоящая диссертация посвящена разработке и исследованию неконформного метода конечных элементов для решения двумерной стационарной задачи Стокса с кусочно-постоянным коэффициентом в эллиптическом операторе с использованием мортарных склеек на линии его разрыва.
Изучению стационарной задачи Стокса уделено особое внимание математиками как у нас в стране, так и за рубежом. Интерес к ней связан, прежде всего, с возможностью эффективного применения предлагаемых алгоритмов и подходов для нахождения решения нелинейных уравнений Навье-Стокса.
Первоначально задача Стокса, в ее классической постановке, была решена методами теории потенциалов. Независимо друг от друга Ф. Одквист [91] и Л. Лихтенштейн [86], благодаря построению гидродинамических потенциалов, нашли классическое решение задачи.
Позднее, в работах Д. Лерэ [81]-[83] была дана вариационная формулировка для уравнений Стокса (в общем случае нелинейных) при изучении слабых решений задачи. Существование решения в такой интерпретации вытекает из классической проекционной теоремы (см., например, [28]), при этом само решение называется обобщенным, а вариационная формулировка — обобщенной постановкой задачи Стокса.
В работах Л. Катабриги [55], С. Агмона, А. Даглиса и Л. Нирен-берга [29], В.А. Солонникова [22]-[24], а также в [25], [2], [6], [76], [110], [87] и [7] разработаны различные подходы к исследованию регулярности как классического, так и обобщенного решений стационарной задачи.
Отметим, что при определенных условиях на исходные данные классическое решение задачи Стокса может не существовать, в то время как существование обобщенного решения имеет место. В диссертации рассмотрен один из таких случаев — разрывность коэффициента кинематической вязкости в дивергентно-градиентной части уравнения. Неоднородность этого характера возникает, например, при моделировании физического процесса, протекающего в химическом реакторе.
В связи с этим в настоящей работе (см. также работы автора [13], [14]) для задачи Стокса предложена-новая обобщенная постанов-

Доказательство. 1. Пусть I^w - интерполянт вектор - функции w на a JhP ~ интерполянт скалярной функции р на Xh(tth)- Тогда, согласно работе [53], на подобластях Од, справедливы оценки
II (w - lh w)|nJ|i1nM + 11 (р- Лр)|п*||о,п* <
< C22,kh(||w||2)nfc + IbllpaJ. (2.18)
2. Рассмотрим вектор-функцию разности (w — wд) в норме пространства Vft(Q/j,), где Wft - произвольная конечно-элементная вектор -функция этого пространства, и воспользуемся определением нормы (1.35)

liw-Wbiiv, = ||w-wb||5inil+|[w-wi||2lit!i!l+||(w-Wi]|||/2Aril. (2.19)
Возьмем точную нижнюю грань от обеих частей (2.19) по всем элементам Wh £ VДПД Имеем
wjlk l|W " l|W "
+ wSvk + wiiv, ~ (2-20^
^ Оценим каждое из слагаемых правой части (2.20):
(1) для оценки первых двух слагаемых применим неравенство
jng|w-w^,afch < li(w — Ift w)|nfc|||>lw, A; = 1,2; (2.21)
ф (2) для оценки третьего слагаемого воспользуемся определением нормы || • ||i/2,л,г« ~ (1-37) и неравенством (1.43) леммы 1.7; получим
Jnf^ II[w - wA]l|1/2>Atria = h .inf fc II[w - wft]||0,r12 <
< h ||[w - IfcW]||0j’la < h (II(w - IftW)|ni||oAa +
+||(w- 1^)|ц2||о,г12)2 < 2h 1(||(w-I/lw)|n1||^ri2+