Дискретно-стохастические численные методы

• Автор: Войтишек, Антон Вацлавович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 264 с. : ил

Оглавление
Введение

Глава 1. Функциональная сходимость численных моделей случайных

полей
1.1. Специальные условия функциональной сходимости последовательностей случайных функций в пространствах С(Т) и О(Г)

1.2. Сходимость численных рандомизированных спектральных моделей случайных полей

1.3. Слабая сходимость вычислительных моделей случайных полей, связанных

с точечными потоками Пальма

Глава 2. Дискретно-стохастические методы вычисления многократных интегралов

2.1. Геометрический метод Монте-Карло и его модификации

2.2. Построение выборки по важности с использованием аппроксимации

Стренга-Фикса
2.3. Дискретно-стохастические методы уменьшения дисперсии
2.4. Использование существенной выборки
Глава 3. Дискретно-стохастические методы аппроксимации интегралов, зависящих от параметра
3.1. Стохастические оценки в узлах сетки. Достаточные условия сходимости метода зависимых испытаний
3.2. Построение верхних границ погрешностей функциональных алгоритмов
3.3. Условная оптимизация функциональных алгоритмов
3.4. Многоуровневый метод зависимых испытаний
Глава 4. Дискретно-стохастические методы аппроксимации решения
интегрального уравнения второго рода
4.1. Несмещенные стохастические оценки в узлах сетки. Верхние границы компонент погрешности
4.2. Общие утверждения о сходимости и условно-оптимальные параметры функциональных алгоритмов с несмещенными оценками в узлах сетки
4.3. Многомерный аналог метода полигона частот
Глава 5. Применение дискретно-стохастических численных методов
5.1. Об одной стохастической задаче теории переноса излучения
5.2. Исследование смешанных алгоритмов решения интегро-дифференциальных систем
5.2.1. Модельная каталитическая задача
5.2.2. Одномерная задача радиационно-кондуктивного теплопереноса
5.3. Об одном итерационном методе решения нелинейных интегральных уравнений
5.4. Тестирование дискретно-стохастических численных методов
5.4.1. Использование спектральных моделей при тестировании
алгоритмов численного интегрирования

5.4.2. Тестирование алгоритмов численного интегрирования из Разделов
2.2 и 2.
5.4.3. Вычисление констант в выражениях для условно-оптимальных параметров из Разделов 3.3, 4.2 и 4.
5.4.4. Тестирование алгоритмов аппроксимации интеграла, зависящего от параметра, из Раздела 3.
5.4.5. Тестирование многоуровневого метода зависимых испытаний из Раздела 3.
5.4.6. Тестирование алгоритмов аппроксимации решения интегрального уравнения второго рода из Разделов 4.1 и 4.
Приложение 1. Реализация случайных величин и случайных векторов
с кусочно-полиномиальными плотностями
Приложение 2. Методологические основы электронного учебника по
методам Монте-Карло
Заключение
Литература

Введение
С развитием вычислительной техники возрастает интерес к численным методам решения прикладных задач, в частности, к статистическому моделированию (или методу Монте-Карло) [1 - 15, 16 — 20, 21 - 23] (см. также обзоры литературы в этих книгах); здесь и далее ссылки на работы автора диссертации выделены жирным шрифтом. В теории методов Монте-Карло можно выделить пять основных разделов [4-6,10]:
а) численное моделирование случайных величин, векторов и функций;
б) вычисление многократных интегралов;
в) приближение интегралов, зависящих от параметра;
г) решение интегральных уравнений второго рода;
д) приложения методов Монте-Карло к задачам вычислительной математики и математической физики.
Традиционно методы Монте-Карло рассматриваются в качестве альтернативных ’’детерминированным” численным методам (в частности, конечно-разностным и конечно-элементным схемам) (см., например, [24 - 27]). Однако во многих случаях эффективными оказываются алгоритмы, содержащие в себе элементы детерминированных и стохастических численных схем. Такие комбинированные алгоритмы будем называть дискретно-стохастическими численными методами. Исследованию этих методов посвящена данная работа, которая состоит из Введения, пяти глав, двух приложений, Заключения и списка литературы из 267 наименований.
Следует сразу отметить, что спектр дискретно-стохастических численных методов достаточно широк. Комбинированные алгоритмы возникают во всех перечисленных выше разделах теории методов Монте-Карло. Для каждого из разделов мы приведем важнейшие примеры таких алгоритмов и изучим вопросы сходимости и оптимизации соответствующих численных схем.
Начнем с моделирования случайных величин. Как хорошо известно [1 - 6, 10, 16], численная реализация случайных величин состоит из двух этапов:
1) реализуются значения al5. ■ .,ak стандартного случайного числа а, равномерно распределенного на полуинтервале [0,1), с помощью специального устройства или программы, которое называется генератором случайных (псевдослучайных) чисел;
2) с помощью некоторых преобразований полученных чисел {ay} вычисляются значения случайных величин с более сложными законами распределения.
Большинство расчетов по методу Монте-Карло произведено и производится с помощью генераторов псевдослучайных чисел, представляющих собой некоторые вычислительные программы, которые, в свою очередь, реализуют рекуррентные последовательности вида
O-n+i = S{an), (0.1)
или их модификации; здесь S - неслучайная функция, определенная на отрезке [0; 1]. То есть по существу речь идет о детерминированной последовательности, обладающей свойствами последовательности независимых случайных величин. Наиболее часто используется функция S вида S(x) = {Mi} для достаточно большого натурального множителя М, здесь {А} обозначает дробную часть числа А. В этом случае алгоритм (0.1) называется мультипликативным методом вычетов [4, 5, 10, 16, 23]. Таким образом, в самой основе алгоритмов численного статистического моделирования, на уровне генераторов псевдослучайных чисел, используются по сути комбинированные методы вида (0.1).

область с границей (то есть Т - компакт в R(), то из Леммы 1.1.6 следует выполнение условия (1.1.6) для р = р. Далее, не ограничивая общности, можно считать, что в смешанной разности Дл£„ все /г,-, г — 1,...,/, положительны (если, например, /г, = 0, то все представленные ниже рассуждения проводятся для £п, как функции переменных f1}... ... ,ti).
Применяя соотношение (1.1.14) из Леммы 1.1.7 / раз, последовательно получаем
Jti os
д^(Д?Чп(^1,... ДО) = Д2г(/‘1+'11 =
/•<1+Л1 Д2+/12 52^п(з1)52Дз,--. до j ,
= /„ L aïïaï dsidsi
и так далее, и, наконец,
а heu м л h,( fu+hl Д'-i+^-i dl-1Çn{sl,s2,...,sl-1,tl)
д «.((„...,(■) = д, (Jh ^^=
<1+Al /■ asi .. . a5/_i as/.
rt+h. /*4—1 -rhi~i rt,
« t] vif J J tl
. . . 9а;_
Учитывая кроме того, что для любой функции / выполнено
получаем неравенство
Ei^(‘
Далее, пусть £(w) — непрерывно дифференцируемый (в среднем степени р) на отрезке [ü,ü + h] случайный процесс. По неравенству Гельдера для q = р/(р— 1) и теореме Фубини (см., например, [61]) имеем
вЦ«‘|в|»!| му< Е[(/;+1|1М|'л),/'. Ш-Л]' -
= |Ь|”/«Е ''и OS i5£[ii,ü+/i] OS
Применяя соотношения (1.1.15) последовательно для случайных функций
Я/W-n Гil+hl [tl-1+h,-1dl-1Zn(si,s2x,..,si-Uw) г
Vl(w) = ... -------------------— dsi... dsi-i] u = ti, h = hi;
Jti Jti-д C'.Si . . .
Л/-<9 /-‘l+Al ftl-2+hl-2 dl~‘i^n{s1,S2,...,Sl^2,W,tl,maX) j ,
^ = — ... --------—x---к--------------— asi. - . ds;_
Oti Jtt Jt[—2 OSj
(здесь ü = t;_i, h = hi-1) и, наконец, для
Г(1)/- Ö <(ti (*T ,t^maxi ■ ■ ■ Д/.max) _ T ,
{<>(«;) = ; « = *ь fc = Äi,