Математические модели и вычислительные алгоритмы для решения некоторых задач финансовой математики

• Автор: Новиков, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 108 с. : ил

Содержание
Введение
Глава 1. Статистический анализ ценовых рядов
1.1 Основные понятия, определения и обозначения
1.2 Вероятностные характеристики ценового ряда
1.3 Анализ динамики вероятностных характеристик ценовых рядов
1.4 Аппроксимация функций распределения непрерывными распределениями
Глава 2. Математические модели ценового ряда
2.1 Нелинейная стохастическая дифференциальная модель
2.2 Модель Холла-Вайта
2.3 Моделирование стационарных случайных процессов с заданным одномерным распределением
2.4 Адаптированные стохастические дифференциальные модели ценового ряда
2.5 Вероятностная модель ценового ряда
Глава 3. Вычислительные алгоритмы и программное обеспечение
3.1.1 Состав и назначение комплекса программ
3.1.2 Обзор современных программных комплексов
3.1.3 Логическая схема работы системы ТесЬАп
3.2 Компиляция программы, написанной на языке ТАЬ
3.3 ПО Орй для оптимизации параметров торговых стратегий
3.4 Целевые функции, доступные в ОрП
3.5 Визуализация данных в Орй
3.6 Алгоритм ускорения полного перебора
3.7 Распараллеливание вычислений
3.8 Численные эксперименты
Заключение
Литература

Введение
Одной из ключевых задач финансовой математики является задача построения адекватных, с точки зрения определенных вероятностных характеристик, математических моделей ценового ряда. Дальнейшее практическое применение данных моделей представлено целым спектром таких задач, как расчет премии опционов различных стилей, расчет границ залоговых средств для торговли фьючерсными контрактами, статистическая проверка торговых алгоритмов, управление портфелем корпоративных ценных бумаг.
Для того чтобы осуществить переход от практических задач к задаче математического моделирования ценовых рядов, необходима определенная идеализация рынка ценных бумаг. Ниже приведен пример такой идеализации, известный как основа современного технического анализа[26].Идеальный рынок основывается на трех аксиомах Аксиома 1. Движения рынка учитывают все факторы. Суть аксиомы заключается в том, что любой фактор, влияющий на цену - экономический, политический, психологический, заранее учтен и отражен в ее ценовом ряде.
Аксиома 2. Цены двигаются направленно. Это предположение стало основой для создания многих методик технического анализа. Термин тренд означает определенное направление движения ценового ряда. Одной из главных задач технического анализа является своевременное определение трендов. Существует три основных типа трендов: бычий (bullish) - движение цены вверх, медвежий (bearish) - движение цены вниз, боковой (sideways) - цена практически не меняется.
Аксиома 3. История повторяется. Технический анализ занимается именно историей определенных событий, связанных с рынком. С точки зрения технического анализа, понимание будущего лежит в изучении прошлого.
Принимая за истину аксиомы технического анализа, большинство прикладных задач теории финансов сводится к задаче математического моделирования ценовых рядов. Кроме того, в работе делается еще одно важное предположение: считается, что все торговые операции осуществляются мгновенно и что всегда есть возможность совершения сделок необходимого объема по цене с точностью до минимального кванта цены, то есть предполагается, что рынок обладает абсолютной ликвидностью.
Прежде чем переходить к постановке задач, решаемых в данной работе, проведем небольшой экскурс в историю финансовой математики.
В начале своего становления, в 20-х годах XX века, теория финансов в качестве математического аппарата использовала лишь формулу сложных процентов, а ее

основной интерес был связан с вопросами администрирования и увеличения фондов. Последующее развитие теории шло в двух направлениях: в предположении условий полной определенности и условий неопределенности. Для развития первого направления важную роль сыграли работы Ирвинга Фишера [20],[29], а также работы Франко Модильяни и Мертон Миллера ("Сколько стоит фирма?", "Теорема ММ", 1963), в которых рассматривался вопрос выбора оптимальных решений для участников рынка.
Исторически первой работой во втором направлении стала диссертация JI. Башелье ("Théorie de la spéculation", 1900), в которой автор предпринял попытку описать изменение стоимости акций на парижском рынке ценных бумаг как случайный процесс. Систематическому обобщению теория впервые подверглась в статье А.Н.Колмогорова (1931 г.). Хотя истоки теории лежали в области экономики, после JI.Башелье очень долгое время большинство ее методов использовалось, в основном, при исследованиях в области теоретической физики, главным образом, в молекулярной физике и радиофизике.
Лишь в начале пятидесятых годов XX века стохастическая математика вновь стала применяться в финансовых вычислениях. В 1952 году Г. Марковиц публикует статью с коротким названием "Выбор портфеля". Данная работа стала начальной точкой нового этапа развития финансовой математики. Главная идея Марковица - считать доходность операций купли-продажи каждой ценной бумаги случайными величинами. Эти величины заранее неизвестны, но предполагается, что для них заданы ожидаемые значения, а также величины, характеризующие отклонения доходностей от ожидаемых, - так называемые вариации и ковариации. Таким образом, Марковиц заставил говорить финансовый рынок на языке теории вероятностей.
Следующим важным этапом в теории финансов явилась работа В. Шарпа (1964), в которой идеи Марковица получили воплощение в широко известной модели, объясняющей поведение инвесторов на рынке, находящемся в равновесном состоянии. Далее в 1965 П.Самуэльсон для описания динамики изменения стоимости акции Р,
ч 0’2(
fit+crit (()-
вводит, так называемое, геометрическое броуновское движение: Р, — Pq€ “ ,
где ju,a- вещественные параметры, IV (■) - винеровский процесс. В 1972 году С. Росс для описания равновесности состояния рынка впервые использовал идеи арбитража. Утверждалось, в частности, что рынок, находящийся в равновесном состоянии, не должен допускать арбитражных ситуаций, то есть возможности извлечения прибыли без риска.
В современной теории и практике торговли опционами знаменательную роль сыграл 1973 год, когда в Чикаго (США) была открыта биржа по заключению стандартных контрактов с опционами. В том же году были опубликованы две работы, совершившие

Гамма распределение

Плотность вероятности /г(х) = 'е ^ <х <ж, где а - параметр масштаба (а > 0);
Р - параметр формы (/?>0). М( = —, й{ = ~, Ля = -^=,Ех

Оценка свободных параметров (ММ):

п-~~

1.98Е-05 6.14Е-
Рис. 1.10. Гистограмма плотности распределения (7. Аппроксимация ^ с гамма распределением, параметры а, Р ог/енены ММ по выборке сг.