Границы устойчивости двумерных разностных схем

• Автор: Шередина, Анна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Численное построение границ устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем
§ 1.1. Границы устойчивости двумерных разностных схем
§ 1.2. Безытерационный метод построения границы устойчивости
§ 1.3. Опорные точки. Базисная прямая
§ 1.4. Результаты расчетов
Глава 2. Свойства границы устойчивости двумерных разностных схем с переменными весовыми множителями
§ 2.1. Монотонность границы устойчивости
§ 2.2. Разностные схемы с одинаковыми границами устойчивости. Симметричные и сопряженные распределения весовых множителей
§ 2.3. Влияние перестановок весовых множителей на границу устойчивости .
§ 2.4. Предельное поведение границы устойчивости
Глава 3. Границы устойчивости разностных схем в непрямоугольных областях
§ 3.1. Границы устойчивости разностных схем в /.-образной области
§ 3.2. Границы устойчивости разностных схем в треугольной области
Таблицы
Список литературы

Введение
1. К первым исследованиям в области теории устойчивости разностных схем относятся работы [1]-[5]. Понятие устойчивости разностной схемы было впервые введено Нейманом и Рихтмайером [1] и определялось как ограниченность всех гармоник решения разностной задачи. Работы А.Ф. Филиппова [3], Лакса и Рихтмайера [4] положили начало современному этапу в теории устойчивости разностных схем. В отличие от предыдущих работ, в статье [3] понятие устойчивости рассматривается не для какой-то отдельной разностной схемы, аппроксимирующей конкретное уравнение, а для любой разностной схемы, и определяется как непрерывная зависимость решения разностной задачи (равномерная относительно шагов сетки) от начальных и граничных условий и от правой части. Подробное изложение работ А.Ф. Филиппова и B.C. Рябенького содержится в книге [5].
Настоящая диссертация посвящена развитию теории устойчивости разностных схем, рассматриваемых как операторно-разностные уравнения в абстрактных пространствах, предложенной A.A. Самарским [6]-[9] и развитой затем в работах [10]-[26], [28]-[36].
Отметим, что результаты теории устойчивости разностных схем, предложенной
A.A. Самарским, изложены в книгах [15], [16].
Особый интерес представляют работы по развитию теории устойчивости разностных схем с операторными множителями, к которым принадлежат, в частности, схемы с переменными весовыми множителями. Общей теории устойчивости двуслойных и трехслойных операторно-разностных схем с операторными множителями посвящены работы [17], [18], [28]-[36]. Спектр применения данной теории достаточно широк. В частности, общие результаты теории устойчивости разностных схем с операторными множителями применяются для исследования сходимости и устойчивости конкретных разностных схем, аппроксимирующих некоторые нестационарные задачи математической физики. Разностные схемы с операторными множителями возникают также при использовании локально сгущающихся сеток при решении задач с особенностями и построении разностных схем на таких адаптивных сетках.

В результате быстрого внедрения в вычислительную практику последних лет многопроцессорных ЭВМ возник особый интерес к построению эффективных вычислительных алгоритмов для современных вычислительных систем с параллельной архитектурой. В связи с популярностью параллельных алгоритмов при решении многомерных нестационарных задач математической физики особое внимание уделяется применению методов декомпозиции (разделения) расчетной области на ряд подобластей. Одним из классов схем декомпозиции области являются региональноаддитивные схемы, которые интерпретируются как схемы с операторными множителями.
Подробному изложению общих результатов теории устойчивости разностных схем с операторными множителями посвящена монография [33].
К классу схем с операторными множителями принадлежат разностные схемы с переменными весовыми множителями, среди которых можно выделить симметризуе-мые операторно-разностные схемы [17]-[19]. Исследованию устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями, аппроксимирующих уравнение теплопроводности, посвящены работы [20]-[26].
Отметим, что разностные схемы с переменными весовыми множителями могут использоваться при распараллеливании вычислений, а также в случае быстро меняющихся коэффициентов дифференциального уравнения за счет использования локально-неявных схем [24].
Предметом настоящей диссертации является развитие теории устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями, а именно вопросы, связанные с построением и исследованием границ устойчивости этих схем.
2. Остановимся подробнее на результатах, полученных другими авторами и имеющих непосредственное отношение к объекту исследования настоящей диссертации.
Канонический вид двуслойной разностной схемы определяется уравнением
ВУп+1~Уп+Ауп = /, п = 0,1,..., (0.1)

где г > 0 - шаг сетки по времени {£„ = пт}, уп — у{1п) 6 Я - функция со значениями в Я, начальное значение у0 задано. Здесь Я - евклидово пространство со скалярным

Координаты точки В(р, q) удовлетворяют системе уравнений
q = ptgp
А+Х =
7ю 720 и определяются по формулам
Р= (— + —)"'> Я=(± + С-^У'. (1.20)
7ю 720 У V720 7ю )
Отклонение границы устойчивости DAE от базисной прямой DE будем характеризовать длиной вектора вХ, со знаком если точка А лежит выше базисной прямой, и со знаком ", если ниже.
Найдем координаты вектора вХ(х - р, у - q). Вычисления показывают, что
£720 + У7ю - 7ю72о 2:720 + г/7ю
х—р = х--------------------, y — q = y
2:720 + 2/710 2:720 + 2/7ю
Квадрат расстояния вА2 имеет вид
= (я2 + У2) (2^720 + 2/7ю ~ 7ю72о)2 (2:720 + УЪо)
Функция
гМ = ±ЩйуЬ)+»Мт.-71.-я.) 0Sv£r/2 (1.21)
2:(<р)72о + 2/(^)7ю
определяет отклонение границы устойчивости от базисной прямой по радиусу в зависимости от угла (р.
Функцию z( z(
/ х , ^ V
ГЛУР) = гвЧ>) =
COS tp COS ip gjn ф _j_ І2А cos y,

полярные радиусы точки A{x, у) границы устойчивости и точки В базисной прямой, отвечающих одному и тому же полярному углу р.