Развитие метода разностных потенциалов и применение его к решению стационарных задач дифракции

• Автор: Софронов, Иван Львович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 177 c. : ил

ОГЛАВЯЕНИЕ

Глава I О НЕВЫРОЖДЕННОСТИ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С МЕТОДОМ

РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Введение . * . . ; . • . * ;■ * . . а1 . •

§ I. Числа невырожденности

§ 2. Примеры использования и вычисления чисел невырожденности

§ 3. Невырожденность регулярных эллиптических задач

Глава II ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ I. Описание алгоритма

§ 2. Условное обоснование схемы расчета • . • ; ;■ 41 § 3. Классы рассматриваемых функций, вспомогательные предложения

§ 4. Невырожденность семейства аппроксимирующих

задач • а ;
§ 5. Сходимость решений аппроксимирующих задач к точному решению, эффективность процесса нахождения решения . . . . ; . •
§ 6. Примеры расчетов
Глава III РАЗНОСТНЫЕ С®РИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
Введение • •••;;
§ I. РСФ и конечные ряды Фурье по ним
§ 2. Вычисление разностных сферических функций

§ 3. Результаты счета . • . • • ;
§ 4. Сходимость РСФ к сферическим функциям в осесимметричном случае
Плава 1У АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО. РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ГЕЛШГОЛЩА /ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
§ I. Конструкция разностного потенциала для внешних задач
§ 2. Аппроксимационные свойства оператора Рсэ в случае внешней осесимметричной задачи! для уравнения Лапласа
§ 3. Алгоритмы решения внешних задач для тел вращения
§ 4. Стационарная задача дифракции; для тел вращения . •••••• •
§ 5. Вытянутые тела
§ 6. Примеры расчетов
Глава V АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕНЮГО РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ СТАЦИОНАРНОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ДИФРАКЦИИ:
НА "ОБЪЕМНОМ" ТЕЛЕ ;
Введение*
§ I. Алгоритм, в котором использованы разностные
потенциалы в сферических координатах
§ 2. Алгоритм, использующий разностные потенциалы в декартовых координатах
Заключение
Приложение)
Приложение А
Приложение Б
Литература

Предметом настоящей работы является дальнейшее теоретическое и алгоритмическое развитие метода разностных потенциалов, в частности, применение метода к задачам стационарной дифракции.
Метод разностных потенциалов (ранее называвшийся как метод внутренних граничных условий или метод разностных проекторов) - МРП - был предложен B.C.Рябеньким [26J в 1969 году и затем активно развивался в работах [l-5, 20-24, 27-43, 49]. Основное предназначение метода, определяющее в настоящее время и его развитие, это численное решение краевых задач математической физики.
МРП можно отнести к числу конечно-разностных методов, однако, в нем осуществляется редукция "задачи в области" к "задаче на границе". Эта редукция проводится при помощи разностных потенциалов, введенных в [27-30, 32, 33] и получивших развитие в [l-4, 6, 38, 4о].
Использование для редукции именно разностных потенциалов привлекательно тем, что позволяет: во-первых, проводить редукцию равносильно, т.е. без потери свойств разрешимости исходной задачи ; во-вторых, проводить редукцию универсально, т.е. независимо от типа граничных условий в краевой задаче ; в-третьих, снять проблему разностной аппроксимации граничных условий, свойственную конечно-разностным методам ; в-четвертых, эффективно вычислять значение разностного потенциала по заданной плотности для ряда операторов с переменными коэффициентами.

Так как н>л , то величиной Н'Ч3 можно пренебречь. Докажем второе равенство. Здесь нужны более простые выкладки: Ё> ~ (% 0{(&) ■+ —
-7^7 II 4>км + а ОМ1) + ОМ),
где ю,ШЧ сАШт£<*■(%*+ с(11Ч’1£т) +
+/|<У, ^П^с1Ч%Мс11т^т,
О, Ш 6 Ж/П1Л1 ± &%((Ч’ОЧ ^ с(пч>ц£м +
+ «ГС*ЛПредложение доказано.
Предложение 2. Пусть - оператор, построенный по формуле (в) без учета второй производной, т.е. с ^ ^ ~ 0.
Тогда при достаточно малом Я существует не зависящая от И , А , и-г константа &о такая, что при Н > &о А справедливо ЦЗГ1,)иг Ні?(у) ^ Н^гИи(г) » где символ "У означает равномерную по Я эквивалентность.
Доказательство. Из тождества ^27) и конструкции оператора следует, что
ц «21 ^(в (<к) ^(ос))
где Л(х) и В(х) ^ - значения для точки величин
і и В , введенных в предложении I. Разобьем контур Г7 на дуги £<; , каждая длины порядка 1,5 А . Из предложения I получаем, что
22 •& (в(х-) + с7? ^ -=££+о{л (т^Г) +
ЧІЧ'Сп^ІіКсг,) >