Устойчивость разностных схем с параметром в нелокальных граничных условиях

• Автор: Удовиченко, Нелля Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с. : ил.

0.1 Введение

1 Нелокальная разностная схема с параметром 7 = — 1

1.1 Спектр и собственные функции основного разностного оператора в случае вещественного

1.1.1 Решение спектральной задачи в разностном случае

1.1.2 Решение спектральной задачи в дифференциальном случае

1.2 Примеры решения спектральной задачи для различных значений граничного параметра

1.2.1 Случай 7

1.2.2 Случай 0 < 7 <

1.2.3 Случай 7

1.2.4 Случай 7 >

1.2.5 Случай -1 < 7 <

1.2.6 Случай 7
1.2.7 Случай 7 <
1.3 Собственные и присоединенные функции в случае 7
1.3.1 Сопряженный оператор при 7
1.3.2 Биортонормированность и базисность систем собственных и присоединенных функций
1.4 Устойчивость схемы в случае 7
1.4.1 Критерий устойчивости схемы при 7 = —1 в Но
1.4.2 Представление собственных и присоединенных функций через ортонормированный базис
1.4.3 Теоремы об оценках оператора нормы
2 Разностная схема с произвольным параметром 7
2.1 Свойства спектра в случае |7| >
2.1.1 Свойства спектра основного разностного оператора в случае 7 > 1
2.1.2 Свойства спектра основного разностного оператора в случае 7 < —1
2.2 Критерий устойчивости разностной схемы в Но при І7І >
2.2.1 Необходимое условие устойчивости в случае І7І >
2.2.2 Критерий устойчивости разностной схемы в случае 7 <
2.2.3 Устойчивость дифференциальной задачи в случае І7І >
2.3 Оценки оператора нормы в случае 7 <
2.3.1 Сопряженный оператор в случае І7І >

2.3.2 Разложение собственных функций по ортонормированному базису
2.3.3 Теорема об оценках оператора нормы
3 Устойчивость схемы в случае комплексного граничного параметра
3.1 Спектр основного разностного оператора в случае комплексного
3.1.1 Вычисление ■ф — arccos 7, когда 7-комплексное число
3.1.2 Спектр основного разностного оператора
3.1.3 Спектр пространственного оператора в дифференциальном случае
3.2 Необходимое и достаточное условие устойчивости схемы в случае комплексного
3.2.1 Необходимое условие устойчивости схемы
3.2.2 Устойчивость дифференциальной задачи, когда 7- чисто мнимое число
3.2.3 Достаточное условие устойчивости схемы
3.3 Сопряженный оператор и оценки энергетической нормы в случае комплексного
3.3.1 Задача на собственные значения для сопряженного оператора
3.3.2 Связь собственных функций с решением задачи с условиями периодичности
3.3.3 Оценки оператора энергетической нормы
Список публикаций по теме диссертации
Литература

0.1 Введение.
1. При численном решении задач математической физики важным аспектом является построение разностной схемы. Одним из главных факторов выбора схемы является ее устойчивость. Теория устойчивости разностных схем стала отдельной областью исследования в середине прошлого столетия. Исследованиям посвящено огромное количество работ, значительная часть которых основана на применении спектральных методов, а также на использовании метода энергетических неравенств.
Одним из наиболее перспективных направлений стала теория, разработанная A.A. Самарским, которая легла в основу настоящей диссертации. В его работах [1], [2] поставлена и во многом решена задача построения общей теории устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем как операторно-разностных уравнений в гильберторовом пространстве.
A.A. Самарский вводит систему разностных уравнений как самостоятельный объект, не зависящий от исходной дифференциальной задачи. В общем случае, разностная схема понимается как операторное уравнение, может быть нелинейное, с операторами, действующими в функциональном пространстве. Вводится единая каноническая форма записи двуслойных и трехслойных разностных схем и общие для данного класса схем условия устойчивости формулируются в виде операторных неравенств, связывающих операторы схемы. При этом исследование устойчивости каждой определенной разностной схемы сводится к приведению ее к канонической форме и затем к проверке выполнения соответствующих операторных неравенств. Подробное изложение теории можно найти в монографии [3] и в обзорной статье [4].
В работах [5]-[7] развита теория так называемых симметризуемых разностных схем, где исследование устойчивости сводится к проверке критериев в терминах операторных неравенств. В основу положено исследование соответствующих самосопряженных разностных задач. При рассмотрении схем с несамосопряженными операторами такая теория дает только необходимые условия устойчивости, хотя основной интерес представляют достаточные условия и априорные оценки. Таким образом, исследование устойчивости несамосопряженных разностных схем сталкивается с принципиальными трудностями, поэтому приходится выделять более узкие классы схем по сравнению с общими схемами, рассмотренными в [2].
В настоящей работе будут рассмотрены системы дифференциальных и разностных уравнений с нелокальными граничными условиями из класса несамосопряженных задач. К изучению нелокальных разностных схем приводят математические модели для ряда прикладных задач в области биологии, физики, моделирования процессов переноса химически активных элементов [8], загрязнений рек [9], геттерирооашш [10]. Нелокальные задачи возникают в квазистатической теории термоэластики [11] и для систем терморезисторов [12], [13]. Примером нелокальной задачи является процесс распространения тепла в стержне при задании соотношения потоков тепла на обоих концах стержня или процесс диффузии частиц в плазме, когда для функции распределения частиц задано условие нор-

получим
тп— 1 т—1 /т—1 т—1
Ё4+1 = 16 Е (л?/,«(2*+1)]2 < 16 Е {ИуМ^Т + Е (Яг/У2^2).
*=0 к—0 к=0 к=0
Выражение, стоящее здесь в скобках, представляет собой сумму квадратов коэффициентов Фурье вектора Ну по ортонормированной системе и, поэтому данная сумма не превышает ||Яг/]|2 и, следовательно,

Е<4+х < !бру]]2 < 4||г/]|2.
Таким образом, совокупность нечетных слагаемых в рассматриваемой сумме 5 оценивается как

0, 5с^_! 4- Е <4+1 < 81М12- (1.4.16)

Аналогичным образом оценим оставшуюся сумму
т—1 т—1 т—3 т
Е = Е (»• «("}]а =16 Е (»• - х>{2к)? =16 Е ((^ - -ВД.и(2Л)]2 < (1417)
< 16||(£ -Х)%]|2 ^ 16||Яг/]|2 ^ 4||з/]|2 < 8|М|2.
Из Леммы 10 и неравенств (1.4.16), (1.4.17) следует требуемая оценка сверху 5 = (Оу,у]
16||у]|2. Следуя доказательству леммы из работы [31], получим оценку снизу. Предположим, что выполнено неравенство

Е4<<%]|2- (1-4.18)
&=о

Воспользуемся тождеством (у, у] = ||у]|2 = ^2 С*А и вытекающим из него неравенством
к-о
1/2 /Л7_1 ч 1/2
(ЛГ-1 А/^ /^-1
Е 4) Е^
к=0 / к=0
Из последнего неравенства и предположения (1.4.18), следует, что
/N-1 !/2
М12^1/2(ЕсП н»]|

Е°2 > <^_11Ы12-