Методы декомпозиции области и фиктивного пространства

• Автор: Непомнящих, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 262 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Теоремы о следах для сеточных функций

1.1. Переобуславливающие операторы для эллиптических краевых

задач

1.2. Сеточные теоремы о следах в пространствах Соболева Н1 (Q)

1.3. Конечно-элементные теоремы о следах для пространств

Соболева Нр q

1.4. Анизотропные области с анизотропными сетками

1.4.1. Теорема о следах для тонких областей

1.4.2. Теорема о следах для анизотропной сетки в случае изотропных областей
1.4.3. Теорема о следах для областей с малым диаметром в конечно-элементном случае
1.4.4. Теорема о следах для анизотропных сеток в узких областях
в случае конечных элементов
1.5. Конечно-элементная теорема о следах для весовых пространств
Соболева Н(П)
2. Декомпозиция области - Аддитивный метод Шварца
2.1. Метод декомпозиции области: случай полос
2.2. Аддитивный метод Шварца в гильбертовом пространстве
2.3. Декомпозиция области для непересекающихся подобластей
2.4. Явные операторы продолжения сеточных функций

2.4.1. Явные операторы продолжения интегрального типа
2.4.2. Явные операторы продолжения на иерархических сетках
2.5. Аддитивный метод Шварца на внутренних границах
2.6. Метод декомпозиции для случая большого числа подобластей
2.7. Декомпозиция области для эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами
3. Метод фиктивного пространства
3.1. Лемма о фиктивном пространстве
3.2. Метод фиктивного пространства для модельных задач
3.3. Метод фиктивного пространства для кусочно-гладких областей
3.4. Метод фиктивного пространства и многоуровневой декомпозиции
3.4.1. Переход на структурированную сетку
3.4.2. Многоуровневые переобуславливающие операторы
4. Переобуславливающие операторы для задач с особенностями
4.1. Эллиптические краевые задачи с разрывными коэффициентами в малых подобластях
4.1.1. Постановка задачи
4.1.2. Декомпозиция области без пересечений
4.1.3. Декомпозиция области с перекрытием
4.2. Переобуславливающие операторы для анизотропных задач
Заключение
Список литературы
Список основных публикаций

Введение
Многие задачи естествознания и в частности математической физики приводят к краевым задачам эллиптического и параболического типа для дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях краевые задачи можно заменить на равносильные вариационные или проекционные задачи в соответствующих гильбертовых пространствах (пространствах Соболева [113]). Для приближенного решения краевых, вариационных или проекционных задач обычно используются разностные и вариационно-разностные методы, приводящие к системам линейных алгебраических (сеточных) уравнений. Современные задачи науки и техники, стремление создать детальную картину исследуемых явлений предъявляют все более высокие требования к точности их моделирования, следствием чего являются усложнение методов построения и повышения размера систем сеточных уравнений.
Для решения систем сеточных уравнений высокого порядка обычные прямые методы, типа метода Гаусса, неприменимы даже для самых мощных ЭВМ. С другой стороны, стремительный прогресс в области вычислительной техники, создание мощных многопроцессорных вычислительных комплексов вызывает необходимость в разработке новых параллельных вычислительных алгоритмов, которые могли бы быть эффективно реализованы на этих многопроцессорных комплексах. Для эффективного решения систем разностных и вариационно-разностных уравнений целесообразно строить

Данная задача порождает несимметричную матрицу А :
(Аи,у) = а(иЬ,у|1)
Г/Vі / ду V', / чей п
аиь ь
о и=1 І

а0(х)иіі уь)ёх + |ст(х)иьуьс1х
/иЬ,уь еН(£1ь,Го).
Будем предполагать, что вместо условий (1.1.2), (1.1.3) справедливы следующие соотношения:

а(иь,уь)
2 ь ь
<а(у",у ) Уу"єН(Пь,г5),

(1.1.9)
< сс2

Н (£2)
Н‘(£2)
Уиь,уЬ єН(ПЬ,Го). (1.1.10)
И пусть определен симметричный оператор В = В :

<(Ву,у)<(32
Н*(П)
Н‘(£2)
Ууь є Н(Пь,Го).
Используя известный метод симметризации (см., например, [62]) от задачи
Аи=Д
перейдем к следующей задаче:
А*В-1Аи = А*В_1Г Если для решения этой задачи использовать, например, итерационный процесс вида
и0 е Яп,
В(ик+1 -ик) =-тк(А*В_1Аик -А*В_1ґ),