Формации унаров

• Автор: Расстригин, Александр Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Конечные формации унаров

1.1. Основные определения и вспомогательный результаты

1.2. Свойства конечных формаций унаров

1.3. Насыщенные конечные формации унаров

1.4. Конечные формации унаров как категории

Глава 2. Формации, содержащие бесконечные унары

2.1. Порождающие совокупности

2.2. Наследственность формаций унаров

Глава 3. Решетки формаций унаров
3.1. Строение решетки конечных формаций унаров
3.2. Свойства решетки конечных формаций
3.3. Решетки не более чем счетных формаций унаров
3.4. Тождества на решетках формаций унаров
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. Формацией называется класс алгебраических систем, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Понятие формации впервые было определено в 1963 году В. Ганноцом (Gaschütz W.) в работе [1], в которой разрабатывались методы нахождения некоторых подгрупп (подгрупп Холла, Картера) конечных разрешимых групп. Первые значительные результаты использования формаций были получены уже в первые годы после выхода работы [1] и вошли в посвященную конечным группам книгу Б. Хуппсрта (Huppert В.) [2|. Появление большого количества работ, в которых формации применялись при изучении подгрупп различных конечных групп, привело к выделению теории формаций в обособленное направление. Монография JI. А. Шеметкова [3] аккумулировала результаты по формациям конечных групп, полученные к концу 1970-х годов. Монография JI. А. Шеметкова и А. Н. Скибы [4] посвящена применению формационных методов в исследовании не только класса групп, но и других алгебраических систем. В ней было обращено внимание на методы изучения самих формаций уже как самостоятельных объектов исследования.
В докладах на IV Всесоюзном математическом съезде (Ленинград, 1961 г.) и Международном конгрессе математиков 1966 г. в Москве академик АН СССР А. И. Мальцев указывает в качестве одного из важнейших направлений теорию классов алгебраических систем, в частности теорию классов, близких аксиоматизируемым (т. е. характеризуемым некоторым набором формул) классам. В [4] авторы обращают внимание на то, что среди классов алгебраических систем наиболее исследованными являют-

ся многообразия и квазимногообразия, рассмотрение которых не всегда оправдано при изучении конечных систем или систем с иными условиями конечности, так как все многообразия и квазимногообразия (за исклю-чением тривиальных) обязательно содержат бесконечные системы. Формации обладают схожими свойствами с такими классами, например допускают характеризацию с помощью последовательностей тождеств [4, §4-5] (ср. [5]: промногообразия, псевдомногообразии), но могут состоять лишь из конечных систем. В связи с этим изучение формаций алгебраических систем, отличных от групп, привлекает внимание все большего числа алгебраистов.
Степень разработанности темы исследования. Ступенчатые формации являются важным способом задания (типом) формаций и рассматриваются в [3; 6] для конечных групп. Локальные и композиционные формации занимают здесь обособленную роль. Пусть X — класс всех конечных групп. Рассматривается некоторая функция / (спутник, экран), ставящая в соответствие любой группе б из X формацию групп /(О) С X такую, что для любого гомоморфизма 1р группы С выполнено /(б) С С /(1т ф) П /(Кег ф), кроме того /(Е) ф 0 для единичной группы Е. Заметим также, что функция / принимает одинаковые значения на изоморфных группах.
Если А е £ является группой операторов группы В Е X, то говорят, что В /-центральна относительно А, если А/Са{В) € 1(В), где через Са(В) обозначается множество всех тождественно действующих на В элементов А. Если к тому же В — фактор нормального ряда группы А и А действует на В сопряжением, то говорят В /-центральна в А. Конечный ряд нормальных в А подгрупп называется /-центральным, если все его факторы /-центральны в А. Тогда класс / всех групп из X,

Далее, для равенства С({Су}) = С({Срк + Сі}) достаточно лишь заметить, что Су. + С® Є С({Су}). Действительно, рассмотрим Су. х Су Є Е і:огт({Су}). По лемме 1.1.7 получаем, что унар Су х Су изоморфен прямой сумме рк циклов Су. Конгруэнция, объединяющая в один класс элементы произвольных рк — 1 циклов, а остальные элементы оставляющая в одноэлементных классах, указывает гомоморфизм, отображающий Су х С°рк на С°рк Н С?. Таким образом, С°к + С? Є С({Су}).
2) Пусть Т — {С() + С®}. Унар С) является фактор унаром унара С)’ + С[’ по конгруэнции V и поэтому Сі Е С(Ф). Так как на унарах из X верна формула (Уж) /(ж) — ж, то все унары из С(Х) являются прямыми суммами одноэлементных унаров. По лемме 1.1.5 получаем СДС^+С]3}) =
= 1({С? + Сг0,С?}).
3) Пусть теперь X = {С}} для данного /г Є Мц. Если обозначить порождающий элемент Сі через а, то С(*/ Р(р(а)) — С[ для всех і ^ К. Таким образом, унары С[ для всех 0 ^ і ^ /г являются гомоморфными образами С} и поэтому принадлежат С(Х). Других унаров в С(Х) нет. Действительно, на унарах из X верпа формула (Ужу) //!(ж) = fh(y), которая является ложной на С(и ^ для любого (і є N. на Су для всякого простого р и к Е К, и на Су ф С? для всякого простого р и /г Є По- Согласно лемме 1.1.5, получаем таким образом С({С{!}) — 1({С( | 0 ф і ^ /г}).
4) Пусть А Е С(Х). Тогда по лемме 1.1.1 найдутся унары А,- £ X, где г = 1,... ,п, и такое конечное подпрямое произведение В унаров А;, что существует эпиморфизм ср : В —> А. В силу леммы 1.1.6 на всех унарах А; истинна формула (Уж) /Л+т(ж) = fh(x), где т есть наименьшее общее кратное периодов всех элементов из каждого унара Аг, а И — максимальная глубина этих элементов. То есть т = р^’р^,'2 ... р^” для некоторых простых р,,,... ,р,ч и Аф,..., /ф еМд ^ п, или т — 1. Причем, если т > 1,