Матрицы Мальцева двойственных групп

• Автор: Костромина, Юлия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Обозначения и некоторые определения
Глава 1. Матрицы Мальцева
§1. Описание Мальцева групп без кручения конечного ранга
§ 2. Ортогональные модули
§ 3. Матрицы Мальцева локально свободных групп
§ 4. Матрицы Мальцева факторно делимых групп
Глава 2. Двойственность Уорфилда и матрицы Мальцева
§ 5. Матрицы Мальцева группы Нот(Я, С)
§ 6. Матрицы Мальцева группы Нот((7, Я)
Глава 3. Двойственность Арнольда и матрицы Мальцева
§ 7. Матрицы Мальцева группы
двойственной факторно делимой группе
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Начальный этап систематического изучения бесконечных абелевых групп пришелся на 20-30-е годы XX века и был связан главным образом с периодическими абелевыми группами. Уже к середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примарных абелевых групп, основанная на результатах Прюфера (20|, Ульма [23] и Цыпи-на [25]. Во второй половине 30-х годов были также заложены основы для изучения абелевых групп без кручения. Бэр [4] на языке типов дал описание групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [17], А. И. Мальцев [33] и Д. Дерри [7] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения описание групп без кручения конечного ранга.
В 40-50-е годы произошло выделение теории абелевых групп из общей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [31].
В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. Особенно бурно в это время развивались два ее направления: примарные группы и группы без кручения (преимущественно конечного ранга). Рост
Введение

интереса к теории абелевых групп был обусловлен в том числе и выходом монографий Капланского [16], Фукса [40] и Гриффита [8], в которых освещались последние ее достижения. О высоких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги, Фукс написал совершенно новую двухтомную монографию [40].
В последующие годы интерес к примарным группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Йонссоном [15], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых, это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли Корнер, Е. А. Благовещенская и
A.B. Яковлев [26]. [41]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (бурное развитие данного направления отражено в монографии Мадера [18]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.
Бьюмонт и Пирс [5] и Рейд [21] уточнили понятие квазиизоморфизма и ввели несколько схожих новых. Понятие квазиизоморфизма не сыграло заметной роли в решении структурной проблемы для групп без кручения конечного ранга. Тем не менее комплекс идей и понятий, связанных с ним, оказались очень полезными при изучении различных классов абеле-
§ 4. Матрицы Мальцева факторно делимых групп

Так как г(С) — гДС?) = 0, то р-матрица локально свободной группы будет иметь вид:
где [(с^)] = ЩЄ) и [«)] = ОТ{в).

(і П2 ... ЯцЛ О 1
(р)'I

уо 0 ... 1 у е 2.
§ 4. Матрицы Мальцева факторно делимых групп
В 1961 г. Р. Бьюмонт и Р. Пирс [5] ввели понятие факторно делимой группы. В 1998 г. в [10] А. А. Фомин и У. Уиклесс обобщили понятие факторно делимых групп на класс смешанных факторно делимыех групп и доказали, что категории смешанных факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов двойственны. В 2007 г. в [37] А. А. Фомин ввел категорию матриц специального вида и доказал, что она эквивалентна категории смешанных факторно делимых групп и двойственна категории групп без кручения.
А. А. Фомин матрицы данной категории называл редуцированными матрицами. Заметим, что это в точности те матрицы, которые А. И. Мальцев называл совершенными, а функторы двойственности категории матриц и категории групп без кручения можно рассматривать как новую версию описания Мальцева [33].