Нижние оценки алгебраической сложности для некоторых классов алгебр

• Автор: Леонтьев, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Оглавление
Предисловие

Несколько замечаний исторического характера

О тематике диссертации

I ВВЕДЕНИЕ

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы и обзорные замечания

1.1.1 О перемножении чисел

1.1.2 О перемножении полиномов

1.1.3 Метод БВЕ

1.1.4 О вычислении полиномов одного переменного

1.1.4.1 Постановка задач
1.1.4.2 Нижние оценки
1.1.4.3 Верхние оценки
1.1.4.4 Общие замечания
1.1.5 О вычислении полиномов многих переменных
1.1.6 Вычисления в алгебрах
1.1.6.1 Алгебры с делением
1.1.6.2 Матричная алгебра (верхние оценки)
1.1.6.3 Нижние оценки для некоторых ассоциативных
алгебр
1.1.6.4 Групповые алгебры
1.1.6.5 Антикоммутативные алгебры и алгебры Ли
1.2 Краткое содержание и основные результаты диссертации
1.2.1 Цель диссертации
1.2.2 Научная и практическая ценность
1.2.3 Методы исследования
1.2.4 Публикации и апробирование
1.2.5 Личный вклад автора
1.2.6 Структура и объем диссертации
1.2.7 Несколько замечаний о доказательствах теорем
1.2.8 Гипотеза о мультипликативной сложности простых алгебр
1.2.9 Научная новизна
1.2.10 Сравнение нижних оценок, полученных автором диссертации, с нижними оценками других авторов
1.2.10.1 Нижние оценки для простых алгебр Ли
1.2.10.2 Нижние оценки для нильпотентных и разрешимых алгебр Ли
1.2.10.3 Нижние оценки для нильпотентных ассоциативных алгебр
1.2.10.4 Нижние оценки для нильпотентных верхнетреугольных матричных алгебр и алгебр Ли малых размерностей
1.2.11 Основные результаты диссертации, выносимые на защиту
1.2.11.1 Нижиие оценки тензорного ранга для классических простых алгебр Ли серий 511/, 5В;, (£/,

1.2.11.2 Нижние оценки тензорного ранга для нильпотентных алгебр Ли
1.2.11.3 Нижние оценки тензорного ранга для разрешимых алгебр Ли
1.2.11.4 Нижние оценки тензорного ранга для нильпотентных ассоциативных алгебр
1.3 Благодарности
2 Предварительные сведения, основные определения и обозначения
2.1 Основы алгебраической теории сложности
2.1.1 Направленные схемы (неветвящиеся программы)
2.1.2 Вычислительная модель
2.1.3 Сложность направленной схемы
2.1.4 Алгебраическая сложность
2.1.5 Алгоритмы без деления
2.2 Кольца и алгебры
2.3 Тензоры
2.3.1 Определение тензора
2.3.2 Координаты тензора
2.3.3 Структурный тензор алгебры
2.3.4 Тензорный ранг
2.3.5 Тензорный ранг алгебры
2.4 Обозначения применяемые в основной части диссертации
--------- 3
2.4.1 Некоторые используемые шрифты
2.4.2 Некоторые используемые сокращения и обозначения
2.5 Структуры, рассматриваемые в основной части диссертации .
II ОРИГИНАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ АВТОРА
3 Нижние оценки тензорного ранга для классических простых алгебр Ли серий 21/, 03/, С/, Э/
3.1 Обозначения
3.2 Нижние оценки для простых алгебр
4 Нижние оценки тензорного ранга для нильпотентных и разрешимых алгебр Ли
4.1 Обозначения
4.2 Нижние оценки для нильпотентных алгебр Ли
4.3 Об алгебре нильпотентных строго верхнетреугольных матриц
4.4 О константах в оценках для нильпотентных алгебр Ли
4.5 Вторая нижняя оценка
4.6 Нижние оценки для разрешимых алгебр Ли
5 Нижние оценки тензорного ранга для нильпотентных ассоциативных алгебр
5.1 Обозначения
5.2 Нижние оценки для нильпотентных ассоциативных алгебр . .
5.3 Первая нижняя оценка
5.4 О коэффициентах при слагаемых в нижних оценках
5.5 Нижняя оценка тензорного ранга для алгебры строго верхнетреугольных нильпотентных матриц
5.6 Вторая нижняя оценка
6 Применение нижних оценок тензорного ранга к нильпотент-ным алгебрам Ли малых размерностей над полями К и С
6.1 Обозначения
6.2 Алгебры над полем комплексных чисел
6.2.1 Идеалы в алгебрах
6.2.2 Некоторые замечания о верхних оценках
6.2.3 Сравнение верхних и нижних оценок
6.3 Алгебры над полем действительных чисел
Заключение
Простые классические алгебры Ли серий 21/, 23/, <£/, Э/
Нильпотентные и разрешимые алгебры

Глава 2. Предварительные сведения, основные определения
ЧАСТЬ I
Определение 2.2.1. Бинарной операцией на множестве М ф 0 называется отображение а : М х М -> М. Обычно бинарную операцию обозначают каким-либо знаком, например о .
Если операция о ассоциативна, то пара (М, о) называется полугруппой. □
Определение 2.2.2. Полугруппа (3, о) называется группой, если выполнены следующие условия:
• Существует нейтральный элемент е Е 3, для которого еод — дое = д для всех д Е 3 •
• любой элемент д Е 3 имеет обратный, т.е. такой элемент д~1 . что 9 ° 9~1 = 9~г ° д = е -

Определение 2.2.3. Абелева группа называется кольцом, если на ней определено умноэюепие, связанное со сложением дистрибутивными законами:
(а + Ъ)с = ас + Ьс и а{Ъ + с) = аЬ + ас
Если ('А, +, *) — кольцо, то (А, +) называется его аддитивной группой, а (А, *) — мультипликативным группоидом. □
Определение 2.2.4. Кольцо X, являющееся одновременно векторным пространством над полем Е таким, .что Х(аЬ) — (Ха)Ь = а(ХЬ) для всех X Е Р, а,Ъ Е X, называется алгеброй над №. Всякое векторное пространство А С X, замкнутое относительно операции умножения а X (т.е. ЕЕ С Е), называется подалгеброй в алгебре X. □
Определение 2.2.5. Левой (правой) единицей кольца К называется такой элемент е, что еа = а ( ае = а ) для всех а Е А. Под единицей понимается элемент, являющийся правой и левой единицей одновременно. □
Определение 2.2.6. Подмножество 3 называется левым (правым) идеалом кольца А, если оно является подгруппой аддитивной группы кольца 3£ и АЗ С 3 ( ЗА С 3 ). Двусторонним идеалом называется подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом. □
Определение 2.2.7. Кольцо 3? называется простым, если 31 не является кольцом с нулевым умножением и не содержит идеалов, отличных от 31 и 0. □