Числовые характеристики некоторых многообразий линейных алгебр

• Автор: Рацеев, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 208 с.

Оглавление
Введение

1 Многообразия алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

1.1 Полилинейная часть свободной алгебры Лейбница

1.2 Техника диаграмм Юнга и некоторые оценки роста, связанные с ними

1.3 Понятие т-алгоритма и его свойства

1.4 Рост подмногообразий в Г4.,А

1.5 5„-модули многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

1.6 Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

1.7 Функции сложности некоторых алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

1.8 Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница

1.9 Минимальные алгебры Ли с нильпотентным коммутантом
2 Многообразия ассоциативных алгебр, порожденные алгебрами верхнетреугольных матриц
2.1 Рост подмногообразий в ьаг{иТ8) в случае произвольного

2.2 Несколько технических лемм
2.3 Экспоненты подмногообразий в наг(ПТ5)
2.4 Случай поля нулевой характеристики

3 Числовые характеристики многообразий алгебр Пуассо-

3.1 Примеры алгебр Пуассона
3.2 Пространство полилинейных элементов
3.3 Многообразия алгебр Пуассона полиномиального роста
3.4 Минимальные алгебры Пуассона полиномиального роста .
3.5 Лиево нильпотентные многообразия алгебр Пуассона
3.6 Полилинейные пространства специального вида
3.7 Рост некоторых многообразий алгебр Пуассона
3.8 Многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста
3.9 Взаимосвязь алгебр Пуассона и алгебр Ли «на языке» тож-
деств
3.10 Некоторые алгебры Пуассона с экстремальными свойствами
Р1-алгебры Лейбница-Пуассона
4.1 Пространство полилинейных элементов
4.2 Алгебры Лейбница-Пуассона с тождеством
{хьх2} ■ {х3,хА}
4.3 Алгебры Лейбница-Пуассона экспоненциального роста
4.4 Некоторые алгебры Лейбница-Пуассона с экстремальными
свойствами
4.5 Нильпотентные алгебры Лейбница-Пуассона
4.6 Некоторые минимальные алгебры Лейбница-Пуассона
Литература

Введение
Работа посвящена изучению числовых характеристик многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом; многообразий ассоциативных алгебр, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц; многообразий алгебр Пуассона и многообразий алгебр Лейбница-Пуассона.
Основные определения и обозначения. Обозначим через К{Х} (абсолютно) свободную линейную алгебру от счетного множества свободных образующих X = {хі,Х2, ■ ■.} над полем К. Пусть А — некоторая /1-алгебра. Если рассмотреть произвольное отображение из X в А, то оно единственным образом продолжается до гомоморфизма алгебры К{Х} в А. Исходя из этого факта, можно определить понятие тождества в алгебре А. Говорят, что в алгебре А выполнено тождество /(х,..., хп) = О, где /(жі,..., хп) — элемент свободной алгебры К{Х}, если /(ад,..., хп) принадлежит ядру любого гомоморфизма алгебры К{Х} в алгебру А, т.е. в А выполняется равенство /(аі,...,оп) = 0 для любых элементов од,..., ап Є А. Алгебра А, удовлетворяющая ненулевому тождеству, называется РІ-алгеброй. Обозначим через Ы(А) множество всех тождеств алгебры А. Множество Ы(А) является идеалом свободной алгебры К{Х}. При этом данный идеал замкнут относительно всех эндоморфизмов алгебры К{Х}. Идеалы, обладающие таким свойством, называются вербальными идеалами (Т-идеалами). Нетрудно видеть, что любой вербальный идеал I является идеалом тождеств некоторой алгебры, например алгебры К{Х}/1.
Многообразием линейных алгебр над полем К называют класс всех алгебр над этим полем, в которых выполнен некоторый фиксированный набор тождеств. Между вербальными идеалами и многообразиями алгебр существует взаимно однозначное соответствие. Задание набора тождеств

Пусть char К Ф 2. Тогда если некоторое многообразие алгебр Лейбница имеет промежуточный рост, то согласно работе [32] оно является подмногообразием в NSA для некоторого s. Далее применяем к этому многообразию первое утверждение данного следствия. □
Следствие 1.4.2. Если для многообразия алгебр Лейбница V выполнено неравенство Exp(V) < у2 и char К ^ 2, то многообразие V имеет полиномиальный рост.
Доказательство. Из условий утверждения следует, учитывая работу [32], что V С NSA для некоторого s, поэтому к V можно применить теорему 1.4.1. □
1.5 б'п-модули многообразий алгебр Лейбница с ниль-потентным коммутантом
В данном параграфе предполагается, что характеристика основного поля К равна нулю.
Лемма 1.5.1. Если в диаграмме Юнга d больше чем 4s2 клеток вне первых s строк, то элемент, соответствующий такой диаграмме, принадлежит идеалу тождеств многообразия NSA.
Доказательство. Достаточно доказать, что если диаграмма Юнга d содержит больше чем 4с2 клеток вне первых с строк, то соответствующий неприводимый Дг-модуль не входит в Rc,n{NSA). Более точно, клетки диаграммы не должны выходить за квадрат 2с х 2с, расположенный вне первых с строк.
Пространство i?Cj„(NsA) можно разложить в прямую сумму следующих подпространств, которые также являются ^-модулями:
Д,п(ГД,А.) = {а ■ fai...ac | о- G 5„)к, (1-И)
ai+...+ac=n, сц~£
ГЦб fa...ac = (■Tl • • ■ ■Ka){%ai+l • - - ■Гдх+аг) ’ * * l-bl * * * ^п}'
Пусть диаграмма Юнга d содержит более чем 4с2 клеток вне первых с строк. Элемент eTd-fai...ac представим в виде суммы слагаемых, каждое из