Многогранники весов и их приложения к теории представлений алгебраических групп

• Автор: Смирнов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 151 с.

1 Используемые методы

§1 Носители, многогранники весов и параболическая индукция

§2 Геометрия сферических многообразий

§3 Многогранник Бриона и отображение моментов

§4 Другое описание многогранника Бриона

2 Классификация квазизамкнутых орбит

§1 Описание возможных стабилизаторов точек квазизамкнутых

орбит

§1.1 Квазизамкнутые орбиты первого типа

§1.2 Квазизамкнутые орбиты второго типа

§2 Вычисление сферических данных

§3 Завершение классификации квазизамкнутых орбит
3 Описание многогранников Бриона
§1 Описание многогранников Бриона присоединенных представлений
§2 Описание многогранника Вгі(У) для большинства
неприводимых представлений
§3 Описание внутренней границы многогранника ВгДЛДУ))

§3.1 Ограничения с внутренней стороны
§3.2 Описание многогранника Вп(Л7(д))
§3.3 Описание многогранника Бриона Вп(Л/"(У))
Список литературы

В теории представлений редуктивных алгебраических групп естественно возникает понятие многогранника весов представления группы. Каждому вектору пространства представления можно поставить в соответствие подмножество этого многогранника, называемое носителем вектора. Изучение носителей векторов является удобным инструментом в теории инвариантов (см., напр., [4]). Целью диссертации является применение метода носителей к некоторым задачам теории представлений и теории алгебраических групп преобразований.
Стандартной задачей теории представлений является задача о разложении тензорной степени данного представления редуктивной алгебраической группы в сумму неприводимых. Часто бывает естественно разлагать не конкретную тензорную степень, а всю тензорную алгебру. Подобный подход привел М. Бриона к определению некоторого многогранника, соответствующего пространству представления V группы С?, или, более общо, любому коническому (^-инвариантному многообразию X в V, и в некотором смысле описывающего разложение тензорной алгебры и алгебры функций на X в сумму неприводимых пространств представлений. Многогранник Бриона является подмножеством многогранника весов. Задача описания многогранников Бриона для замыканий проективизаций орбит в присоединенном представлении была поставлена В.Л. Поповым в докладе на конференции по теории инвариантов (Кингстон, 2002, см. [29]). В некоторых случаях эти многогранники были описаны Сьямааром [30]. В диссертации с помощью метода носителей описаны многогранники Бриона для “большинства” неприводимых представлений редуктивных групп и их нуль-конусов.
Другая задача, решенная в диссертации при помощи метода носителей, — задача классификации квазизамкнутых орбит, или двухорбитных многоОпределение 12. Назовем точку {и) самой высокой точкой орбиты G{v), если
1. k((v)) = maxgeG K(g(v));
2. dim(suppv) = minfleG|k({v))=k(h{v)) dim(suppg(v)).
Предложение 2.1.4. Высоты векторов из P(v) не меньше высоты точки (v).
М Если k(v) — 0, то доказывать нечего, а в противном случае применим предложение 1.1.4 И получим, ЧТО supp (и) С @(v) + Xmin(w) для всех (и) € G(v). Лемма доказана. ►
Следующее предложение будет активно использоваться в дальнейшем:
Предложение 2.1.5. Пусть (v) — самая высокая точка квазизамкнутой орбиты, д 6 Р, а Н — плоскость, опорная к носителю точки g(v). Тогда если выполняется или dim(supp(5(v)) П Н) < dim(suppu), то
точка ((gv)н) лежит в замкнутой орбите.
М Действительно, согласно предложению 1.1.9, {(gv)н) G G(v). В открытой орбите эта точка лежать не может, так как это противоречило бы тому, что (и) — самая высокая точка орбиты. Следовательно, она должна лежать в замкнутой орбите. Предложение доказано. ►
Определение 13. Назовем квазизамкнутой орбитой первого типа квази-замкнутую орбиту, в которой носитель самой высокой точки — отрезок.
Определение 14. Назовем квазизамкнутой орбитой второго типа ква-зизамкпутую орбиту, в которой носитель самой высокой точки — точка.
Докажем теперь теорему, из которой следует, что любая квазизамкнутая орбита является орбитой первого или второго типа: