Хопфовы абелевы группы

• Автор: Кайгородов, Евгений Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 83 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

Глава 1. Генезис и развитие понятия хопфовости

§1. Проблема Хопфа и комбинаторная теория групп

§2. Обзор современных исследований

Глава 2. Общие свойства хопфовых абелевых групп

§3. Общие результаты о хопфовых абелевых группах

§4. Хопфовы делимые группы

§5. Хопфовость прямых сумм циклических групп

Глава 3. Некоторые классы хопфовых абелевых групп

§6. Случай алгебраически компактных групп
§7. Вполне разложимые группы без кручения
§8. Хопфовы ЗР-групиы
§9. Хопфовость аддитивных групп некоторых колец
Литература

Список обозначений
И — множество натуральных чисел
Ъ — кольцо (группа) целых чисел
— поле (группа) рациональных чисел Z(т) — циклическая группа порядка т
2(р°°) — квазициклическая группа
С}* — кольцо целых р-адических чисел
Jp — группа целых р-адических чисел
Нот (А, В) — группа гомоморфизмов из группы А в группу В Епс! А — группа эндоморфизмов группы А
Е(Л) — кольцо эндоморфизмов группы А
Кег <р — ядро гомоморфизма
1т <р — образ гомоморфизма <р
<р|д — ограничение гомоморфизма на подгруппу А
2(1а — тождественное отображение А —>■ А
Я+ — аддитивная группа кольца Я.
1Д — единица кольца Я
А — р-адическое пополнение группы А
А@ А1 — прямая сумма групп (модулей) ш
]~1 Д- — прямое произведение групп (модулей)

г (А) — ранг группы А
го(А) — ранг без кручения группы А
гг(А) — р-ранг группы А
Т(А) — периодическая часть группы А
(М) — подгруппа, порожденная множеством М
(М). — подгруппа, сервантно порожденная множеством М
о(а) — порядок элемента а
А[п — подмножество {а € А па = 0} группы А
и(м) — первый ульмовский подмодуль модуля М
П(А) — множество типов ненулевых однородных компонент
вполне разложимой группы без кручения А

Поскольку а — эпиморфизм, то в группе А существует такой элемент г' = х'+у1 (х' £ В, у' 6 С), что а(г') = аг. Имеем:
_ / ап(х') + а12{у')
«22 (у')

получаем ац(х/) + а^у') — ах, а также «22{’У1) — 0- Из последнего равенства у' £ Кег «22, но так как а22 — автоморфизм, то у' = 0. Таким образом, ац(г') = = «1 и «и — эпиморфизм. По условию теоремы группа В хопфова, поэтому «11 — автоморфизм группы В. Следовательно, матрица

«и «12 0 а
обратима, т. е. эпиморфизм « является автоморфизмом. Итак, группа А хопфова. ^
Дадим необходимое и достаточное условие хопфовости прямой суммы произвольного числа групп, оиять-таки с использованием свойства вполне инвариантности последних в прямой сумме.
ТЕОРЕМА 3. 8. Пусть А = ф А* и все прямые слагаемые Ах вполне

инвариантны в группе А. Тогда группа А хопфова, если и только если каждая группа А; хопфова.
^ Необходимость. Если группа А хопфова, то по следствию 3.5 все прямые слагаемые А,- хопфовы.
Достаточность. Пусть все прямые слагаемые А,- — хопфовы группы. Если — эпиморфизм группы А, то понятно, что ограничения <рх этого