Асимптотические свойства глобальных полей

• Автор: Зыкин, Алексей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с. : ил.

Оглавление
Введение

I Асимптотические свойства дзета и Ь- функций

1 Теоремы Брауэра—Зигеля и Цфасмана—Влэдуца для почти нормальных расширений числовых полей

1.1 Введение

1.2 Доказательство теоремы 1.1.

1.3 Доказательство теоремы 1.1.

2 Логарифмическая производная дзета-функций в семействах глобальных полей (совместно с Ф. Лебаком)

2.1 Введение

2.2 Доказательство теоремы 2.1.

2.3 Доказательство теоремы 2.1.

2.3.1 Сумма по простым
2.3.2 Архимедовы члены
2.3.3 Сумма по нулям: главный член
2.3.4 Сумма по нулям: остаточный член
2.3.5 Сумма по нулям: трудная часть
2.4 Доказательство теоремы 2.1.4 и следствий
3 Равномерное распределение нулей /^-функций модулярных форм
3.1 Введение
3.2 Доказательство теоремы 3.1.
4 Асимптотические свойства дзета-функций над конечными полями
4.1 Введение
4.2 Дзета и Б-функции
4.2.1 Определения
4.2.2 Явные формулы
4.2.3 Примеры
4.3 Семейства дзета и 1,-функций
4.3.1 Определения и простейшие свойства
4.3.2 Примеры
4.4 Основные неравенства
4.4.1 Основное неравенство для Ь-функций
4.4.2 Основное неравенство для дзста-функцнй
4.4.3 Примеры
4.5 Обобщения теоремы Брауэра-Зигеля
4.5.1 Предельные дзета-функции и теорема Брауэра-Зигеля
4.5.2 Поведение в центральной точке
4.5.3 Примеры

4.6 Распределение нулей
4.6.1 Основные результаты
4.6.2 Примеры
4.7 Открытые вопросы и дальнейшие направления для исследования
II Абелевы многообразия размерности 3
5 Якобианы и абелевы многообразия размерности 3: формула Клейна и вопрос Серра (совместно с Ж. Лашо и К. Ритценталером)
5.1 Введение
5.1.1 Теорема Торелли
5.1.2 Кривые рода
5.2 Модулярные формы Зигеля и Тейхмюллера
5.2.1 Геометрические модулярные формы Зигеля
5.2.2 Комплексная униформизация
5.2.3 Модулярные формы Тейхмюллера
5.2.4 Действие изморфизмов
5.3 Инварианты и модулярные формы
5.3.1 Инварианты
5.3.2 Геометрические инварианты псособых плоских квартик
5.3.3 Модулярные формы как инварианты
5.4 Случай рода 3
5.4.1 Формула Клейна

2.3.1 Сумма по простым
^ logNp ) _ „ _ log Np
NP^ ^^+С)П
logNp
-Ей^т-Е^ E ^
Np log Np
Требуется оценить сумм}':
Д(Л,е)= у logNp у ~
Np^ АЛР
log Np
Переходя к абсолютным значениям, мы можем считать, что е вещественно. Суммируя геометрическую прогрессию, мы получаем:
logNp
Л(Я,£)<(2 + ч/2)Е - ^ -
Np (так как (1 - Np"1/2-')“1 < (1 - 2-^2)~1 < ^2(1 + v/2)).
Разделим нашу сумму на две части, в соответствии с тем Np > /П или нет. Принимая во внимание тот факт, что log Np[log N/ log Np] > log TV — logNp, если logNp < [log /Npj, мы получаем:
W)SP + V5)(e E igiSi)
Np Запишем
log Np
Ai (IV, 0= £
elogN(A+€) Np д2пу л= S- loeNP
21 Np(1+2e)'
y/N< Np Для Ai(N, e) имеем:
AiWe)<-i- £ logNp.
Np Последняя сумма может быть оценена с испол1>зованием результатов Лагариаса и Од-лыжко (которые используют GRH, см. [39, теорема 9.1]):
logNp < logNp = /~N + 0(N* log N((j + nlog N))
Np