Первичный радикал артиновых алгебр Ли

• Автор: Мещерина, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Оренбург
• Количество страниц: 91 с.

Содержание

Список обозначений

Введение

0 Исторический очерк. Основные определения и обозначе-

1 О различных определениях артиновости алгебр Ли

1.1 Основные свойства внутренних идеалов алгебр Ли

1.2 О соотношениях между различными определениями артиновости для алгебр Ли

2 Внутренние идеалы алгебры Ли sln(F)

2.1 Внутренние идеалы алгебры Ли sl2(F)

2.2 Внутренние идеалы алгебры Ли sl^(F)
2.3 Абелевость внутренних идеалов
алгебры Ли sln(F)
2.4 Ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли sln(F)
3 О проблеме A.B. Михалева для алгебр Ли
3.1 Первичный радикал алгебры Ли
3.2 Разрешимость первичного радикала ггш-артиновой
и а-артиновой алгебр Ли
Заключение
Литература

Список обозначений
[а,Ь - коммутатор элементов в ассоциативной алгебре или алгебре Ли АН - ассоциативная алгебра А по отношению к операции коммутирования [х,у = ху — ух
А(М) - ассоциированная алгебра представления, порожденная элементами алгебры Ь в алгебре Епб(М) как ассоциативная алгебра, где М //-модуль
А(1 Ь - присоединенная ассоциативная алгебра для алгебры Ли Ь Пп - алгебра матриц порядка п над алгеброй И Р[хі,Х2, - кольцо многочленов над полем Е
Р(х,Х2, ..., жп) - свободная ассоциативная алгебра над полем Е с образующими Х,Х2, .-.,хп
J(D) - радикал Джекобсона ассоциативной алгебры О
Ьр(х,х2,...,хп) - свободная алгебра Ли над полем Р с образующими
X1 - Х2, ■ • •, Хп
V или Ь2- коммутант алгебры Ли Ь
- элементы производного ряда алгебры Ли Ь Ьп - элементы нижнего центрального ряда алгебры Ли Ь Р(Р) - первичный радикал ассоциативной алгебры или алгебры Ли И зЦР) - специальная линейная алгебра порядка п над полем Р врап^і, ...,уп) - линейная оболочка векторов У,..., ьп БРРалгебра Ли - специальная алгебра Ли и(Ь) - универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли Ь Х{Х) - централизатор множества X алгебры Р
Введение

Областью исследования диссертационной работы является “теория радикалов алгебр Ли”. Теории радикалов алгебр Ли посвящены такие работы как [4], [9], [48], [51], [58], [59] и др.
Цель работы - доказательство разрешимости первичного радикала алгебр Ли, при наложении различных условий артиновости.
Актуальность темы диссертации. Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Ф. Энгель, Э. Картан,
В. Киллинг и др. [6, стр. 453].
По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой и нильпотентной алгебр Ли. В. Киллинг ввел понятие радикала и полу-простой алгебры Ли.
В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.
Конечномерные алгебры Ли возникли при изучении групп Ли. В настоящее время они имеют хорошо разработанную теорию, которая находит приложение в различных областях математики.
При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей.
Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при построении примеров групп. Например, Ю. П. Размыслов использовал бесконечномерные алгебры Ли при построении примера группы, удовлетворяющей тождеству хр — 1, где р > 5 - простое, которая не является разрешимой [25]. Бесконечномерные алгебры Ли широко использовались в работах А. И. Кострикина по проблеме Бернсайда [11].

подалгебру.
Следовательно, алгебра Ли Ь не является а-артиновой.
Это означает, что из г п п-арт и н о во ст и может не следовать а-артиновость.
Легко проверить, что из тп-артиновоети следует г-артиновость и из а-артиновости следует г-артиновость.
В работе [65] также приведены примеры, показывающие что из г-артиновости может не следовать а-артиновость и гпп-артиновость.
Представляют интерес примеры бесконечномерных а-артиновых алгебр Ли.
Известно, что многие результаты переносятся с групп на алгебры Ли.
Для групп существуют даже абелевы бесконечные группы удовлетворяющие условию минимальности для подгрупп. Такие группы называются квазицикл ическими.
Примером такой группы может служить мультипликативная группа комплексных корней уравнений хр" — 1 ,п = 1,2,... для простого числа Р-
Все подгруппы квазициклических групп конечны. О.Ю. Шмидт сформулировал проблему о существовании бесконечных неабелевых групп все, подгруппы которых конечны.
Эта проблема была решена А.Ю. Ольшанским [16].
Для алгебр Ли ситуация отличается. Все абелевы а-артиновы алгебры Ли - конечны.
В работе [5] показано, что все специальные алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры - конечномерны.
Условие максимальности на абелевы подалгебры означает отсутствия бесконечных абелевых подалгебр. Условие максимальности на абелевы подалгебры эквивалентно условию минимальности на абелевы подалгебры.