Аппроксимационные свойства HNN-расширений групп

• Автор: Сенкевич, Олег Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 95 с.

ГЛАВА I.
Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности ДАТУ-расширений групп с центральными связанными
подгруппами

§ 1. Предварительные замечания о конструкции

ДЯА-расширения

§2. О сопряженности элементов НNА-расширения

§3. О финитной аппроксимируемости ААА-расширения .

§ 4. Доказательство теоремы

ГЛАВА II.

Аппроксимационные свойства нисходящих НА А-расширений

абелевых групп

§ 5. Предварительные замечания. Формулировка результатов . . 67 § 6. О финитной отделимости циклических подгрупп
нисходящего А АА-расширения конечно порожденной
абелевой группы
§ 7. О финитной аппроксимируемости относительно сопряженности нисходящего ААА-расширения конечно порожденной абелевой группы
Литература

Понятие финитно аппроксимируемой группы, сформулированное в сороковых годах прошлого столетия, широко изучалось и обобщалось в различных направлениях. В данной работе рассматривается два обобщения этого понятия, а именно свойство финитной аппроксимируемости относительно сопряженности и свойство финитной отделимости подгрупп.
Напомним, что группа С? называется финитно аппроксимируемой (финитно аппроксимируемой относительно сопряженности), если для любых ее различных (соответственно, не сопряженных) элементов х и у найдется гомоморфизм группы О на некоторую конечную группу, образы относительно которого элементов £ и у различны (соответственно, не сопряжены).
Подмножество М группы О называется финитно отделимым, если для любого элемента х группы С, не принадлежащего подмножеству М, существует такой гомоморфизм группы О на некоторую конечную группу, образ элемента х относительно которого не принадлежит образу подмножества М.
Очевидно, что группа С является финитно аппроксимируемой тогда и только тогда, когда каждое ее одноэлементное подмножество финитно отделимо, и группа О является финитно аппроксимируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый класс сопряженных элементов этой группы финитно отделим. Почти очевидно также, что произвольная группа, финитно аппроксимируемая относительно сопряженности, является финитно аппроксимируемой.
Одним из заметных направлений в современных исследованиях по аппроксимируемости групп является изучение поведения того или иного аппроксимационного свойства относительно той или иной теоретико-групповой конструкции. Так, прямое или декартово произведение произвольного семейства финитно аппроксимируемых или финитно аппроксимируемых относительно сопряженности групп является, очевидно, группой, финитно аппроксимируемой или финит-

но аппроксимируемой относительно сопряженности соответственно. С другой стороны, уже прямое произведение двух свободных групп ранга 2 содержит конечно порожденную подгруппу, не являющуюся финитно отделимой (см., напр., [13]), тогда как в силу теоремы Холла - Бернса (см. [2, с. 34]) в любой свободной группе все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы. Хорошо известно (см., напр., [19]), что свободное произведение произвольного семейства финитно аппроксимируемых групп является финитно аппроксимируемой группой. В. Н. Ремесленников [10] показал, что свободное произведение любого семейства групп, финитно аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности, а в работе Н. С. Романовского [11] доказано, что в свободном произведении произвольного семейства групп все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы, если финитно отделимыми являются все конечно порожденные подгруппы в каждой группе этого семейства.
Свободное произведение является исторически первой из так называемых свободных конструкций групп; другими свободными конструкциями являются обобщенное свободное произведение, т. е. свободное произведение групп с объединенными подгруппами, и расширение Хигмана - Неймана - Нейман (НЛ^^-расширение). Положение с аппроксимационными свойствами этих конструкций оказывается более сложным, чем для обычного свободного произведения: свободное произведение с объединенными подгруппами двух финитно аппроксимируемых групп и #N./4-расширение финитно аппроксимируемой группы далеко не всегда являются финитно аппроксимируемыми группами.
По-видимому, первым примером обобщенного свободного произведения двух финитно аппроксимируемых групп, не являющегося финитно аппроксимируемой группой, является группа Хигмана
(а, 6, с; Ь~1аЬ = а2, с~1ас = а2), предложенная им в работе [20] в качестве примера нехопфовой конечно

(ni) в каждой нормальной подгруппе конечного индекса группы G содержится некоторая (А-,А, ip)-совместимая нормальная подгруппа конечного индекса этой группы.
Следует заметить, что в [5] предполагалась финитная отделимость в группе G лишь тех подгрупп, лежащих в К, индекс в К которых конечен. Легко видеть, тем не менее, что если К — конечно порожденная центральная подгруппа некоторой группы G и если произвольная подгруппа группы К, имеющая конечный индекс в К, финитно отделима в группе G, то и любая подгруппа группы К финитно отделима в G.
Действительно, пусть Я — подгруппа группы G, лежащая в подгруппе К, и пусть элемент g 6 G не входит в Я. Тогда в группе К найдется подгруппа М, имеющая в К конечный индекс и такая, что g ф НМ: если g £ К, в качестве М может быть выбрана произвольная подгруппа конечного индекса группы К, а если g G К, существование М следует из финитной отделимости каждой подгруппы конечно порожденной абелевой группы К. Из отделимости подгруппы М следует что фактор-группа G/М финитно аппроксимируема. Так как элемент дМ не входит в ее конечную подгруппу НМ/М, найдется нормальная подгруппа конечного индекса N/М группы G/М такая, что элемент дМ не входит в подгруппу НМ/М • N/M = HN/M. Поскольку тогда N является нормальной подгруппой конечного индекса группы G и g £ HN, финитная отделимость подгруппы Н доказана.
Нам потребуется здесь некоторое усиление утверждения пункта (iii) из формулировки предложения 3.3.
(Л_1, Ai,^-совместимую нормальную подгруппу Я группы G назовем сильно [A-i, А,<р)-совместимой, если для любого целого числа к
UkH/H П VkH/H = (Uk П Vk)H/H.
Заметим тут же, что поскольку равенство
UkH/H П VkH/H == (Uk П Vk)H/H