Геометрическая эквивалентность групп

• Автор: Гусев, Борис Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 62 с. : ил.

Глава I. Предварительные сведения

1.1 Общие понятия

1.2 Геометрическая эквивалентность

1.3 Уравнения в группах

1.4 Квазимногообразия

1.5 Пополнения нильпотентных групп

Глава 2. Геометрические многообразия групп

2.1 Определения и вспомогательные результаты

2.2 Геометрические многообразия групп и предмногообра-

Глава 3. Пополнения нильпотентных групп

3.1 Геометрическая эквивалентность нильпотентных групп и их пополнений
3.2 Примеры
Глава 4. Геометрическая эквивалентность и квазимногообразия
Заключение
Список литературы
Диссертация посвящена исследованию свойств геометрической эквивалентности групп. С этой целью был определен новый класс групп — геометрическое многообразие, и изучены его свойства. При этом был рассмотрен вопрос Б.И. Плоткина о геометрической эквивалентности конечнопорожденных нильпо-тентных групп без кручения и их минимальных пополнений.
В серии работ Б.И. Плоткина [23] - [26] и Г. Баумслага,
А. Мясникова, В. Ремесленникова, В. Романькова [2], [3]. [21] были заложены основы алгебраической геометрии над группами. В этих работах, наряду с общими вопросами, было введено понятие геометрической эквивалентности, рассмотрены основные свойства этого понятия и поставлены открытые вопросы.
В настоящей диссертации изучаются свойства геометрической эквивалентности и вводится новый класс — геометрическое многообразие групп. Этот класс групп замкнут относительно подгрупп и относительно геометрической эквивалентности, и обладает другими интересными свойствами. В частности, классы нильпотентньтх и разрешимых групп являются геометрическими многообразиями.
Другой аспект рассматриваемых вопросов — это вопрос, поставленный Б.И. Плоткиным на Международной алгебраической конференции памяти Д.К. Фаддеева в С-Петербурге в 1997

году: будет ли геометрически эквивалентна конечноворожденная нильпотентная группа без кручения своему минимальному пополнению. В диссертации приводится пример конечно порожденной нильпотентной группы без кручения ступени три, минимальное пополнение которой геометрически не эквивалентно исходной группе, а также рассматривается вопрос о геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения ранга 2 и их минимальных пополнений. Там же сформулирован и доказан критерий геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения и их минимальных пополнений и, как следствие, получена теорема о геометрической эквивалентности двуступенно нильпотентных групп и их минимальных пополнений.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы.
Во введении дается обоснование актуальности темы исследований.
Первая Глава IIосвящена пояснению терминологии и основных обозначений, принятых в работе. Также в ней делается обзор тех известных результатов, которые использованы в работе.
Во второй главе определяется геометрическое многообразие групп и рассматриваются его свойства (утверждения 2.1 - 2.4, 2.6, следствия 2.1.). Также изучена связь геометрических многообразий с иредмногообразиями и другими классами групп, (теорема 2.1 и следствия 2.2, 2.3, 2.5, 2.6).
В третьей главе рассматривается вопрос Б.И. Плоткина о геометрической эквивалентности конечнопорожденных ттильпо-

Пусть £1 = ^ = Ь = 0 и £4 Ф 0. Тогда из (21), (22), (23), (27) и (31) получаем [а, [а, дфф3 — 1, [а, [Ь,^ — 1, [с, = 1,
[а, Ь}^ = 1 и [а, [6,с]Г =1. □
Леммы 3.2 и 3.3 справедливы и для групп в примерах 3.2 и 3.3. В частности пример 3.3 рассмотрен в работе [4]. Значение лемм 3.2 и 3.3 раскрывается ниже в утверждении 3.1, следствии 3.1 и теореме 3.3.
Утверждение 3.1 Если С — конечно порожденная нилъпо-тенття группа без кручения, и для каждого эндоморфизма (р : (7 —► (7 либо кегу) Э ((С), либо <р — автоморфизм, то группа (7 геометрически не эквивалентна никакой своей собственной подгруппе.
Доказательство. Пусть к —ступень нильпотентности и г — число порождающих группы (7. Представим С как факторгруппу свободной группы А ранга г по нормальной подгруппе 5. По определению 3 является (7-замкнутой подгруппой. Покажем, что 5 не Я-замкнута для любой собственной подгруппы А < (7. Рассмотрим 3 — замыкание подгруппы Я относительно Я: Я = ПгД11<ег(Дд где {г(Я). ЭтОТ ЭН-доморфизм не может быть автоморфизмом, поскольку II Ф С, следовательно, £(6?) < кегф и поэтому ступень нильпотентности <^г(Я) строго меньше к. А это значит, что 7ДЯ) < кег^ для