О классификации кубических форм

• Автор: Беклемишев, Николай Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 c. : ил

ОГДАВаШШЕ

ГЛАВА I. Классификация кватернарных кубических форм
необщего положения
1. Предварительные сведения
2. гк -стратификация
3. Случай б = (4^ , V = 53(^С^)
4. Описание -стратов (Г0 и Сх,
5. 'ък. -страт (ь^
ГЛАВА II. Инварианты кубических форм от четырех
переменных
1. Предварительные сведения
2. Геометрия поверхностей из 5
3. Морфизм 9Г[<, : ^ ^ V/(Д
4. Действие группы И на 5
5. Сечение
6. Регулярные инварианты
7. Функции перехода от ^ к £
8. Инварианты степени 2 к
9. Инварианты степени $к+4
10. Рациональность фактора .’ .
11. Группы проективных автоморфизмов неособых кубических поверхностей
ГЛАВА III. Алгебры инвариантов форм, являющиеся
полными пересечениями
1. Основные результаты
2. Доказательство теоремы I
3. Доказательство теоремы

ВВЩЕНИЕ
Диссертация посвящена классификации кубических форм. Описана стратификация Пале-Дуны пространства кватернарных кубических
пространств, трансверсально пересекающих орбиту точки общего по
описание алгебры инвариантов кватернарных кубических форм. Кроме того, перечислены все пары . Для которых алгебра инвариантов -арных форл степени 'Ъ является полным пересечением. Оказывается, что одним из трех случаев, когда алгебра инвариантов форм не свободна, но является полным пересечением, является случай кватернарных кубических форм. Два других - бинарные формы пятой и шестой степени.
Дадим очерк истории вопроса. В 1861 году Сальмон . ^20^ , '[21^ нашел шесть инвариантов кватернарных кубических форм (пять из которых алгебраически независимы ) , связанных одним соотношением. Параллельно с Сальмоном пять из этих шести инвариантов были найдены также Кпебшем • При этом Сальмон использовал результат Сильвестра о том, что кубическая форма общего положения представляется в виде суммы кубов пяти линейных с!горм. Нужно отметить, что классики считали, что любая неособая (то есть задающая неособую кубическую поверхность б кубическая форма
представляется в таком виде. Это не так, см. главу II. Хотя найденная Сальмоном система инвариантов является полной (любой инвариант выражается как многочлен от найденных4) , Сальмон полноты не доказывает, а приводит более слабое утверждение, что люотносительно естественного действия группы . Изучены свойства двух сечений (линейных подложения) в пространстве
, при помощи чего получено

бой инвариант есть функция ^которая может содержать дроби и дробные показатели степени, то есть, вообще говоря, неоднозначная) от найденных.
В 1932 году Юнг £.31"] . используя свой метод диаграмм и символический метод, независимо от Сальмона нашел те же шесть инвариантов и доказал, что эта система инвариантов полна. Правда, Юнгу не удалось доказать, что один из инвариантов, 1^оо , отличен от нуля. Это легко следует из работы Сальмона, который вычислил значения инвариантов на кубической форме, приведенной к каноническому виду Сильвестра £= 'Е. С- } = У-1 . Эдж [ЗОЛ пишет,
С-1 і=<
что впоследствии Юнг узнал об этой работе.
Попытка классификации кватернарных кубических форм необщего положения была предпринята Пуанкаре в работе [18] . Метод Пуанкаре состоял в том, чтобы классифицировать формы из пространства неподвижных точек данного полупростого элемента группы ${^ (4) . Однако он полностью реализовал эту идею лишь для тернарных форм.
Классификация всех особых кватернарных кубических форм, или, эквивалентно, всех особых кубических поверхностей была получена Шлефли. в работе [223 « а также Кали в работе [іо] . С точки зрения современной теории особенностей [і] эти результаты были проинтерпретированы Брюсом и Уоллом в работе [б]
Кубические поверхности с нетривиальной группой проективных автоморфизмов изучались Бобеком в работах [32] , [зз] . Он нашел все возможные порядки проективных автоморфизмов неособых кубик, описал конфигурацию прямых на таких кубиках и нашел такие группы автоморфизмов, которыми обладает или единственная кубика, или однопараметрическое семейство кубик.
Перейдем к формулировке основных результатов диссертации. Диссертация содержит три главы. В первой главе находится страти-

•£ - <£<■<*$ Аг, 4 ) ' Тогда мы имеем А^ = 3*3/ -
= З,332 ~ АгА£ = А2 13 ^ ^4Лд ^ = 5^/? (В .. Отсюда А/(V) порождается 67Р и элементом и
п *

1
1
О ;

Имеем N(V-)^(0) = 6ц ; группа автоморфизмов поверхности ^=0 ^ && В , есть распшрение при помощи группы Ж/.
7. Р1 -страт В . Любая форма этого Р1* -страта может быть приведена к виду , 1?=. ах/ + + Х3 ) +<СХ2Х3Х^ .
Имеем
6Г ~ <

,-ч
п 'і

1
1 .

Рассмотрим следующие подгруппы группы е3(б/>) •
Го=<
1-І

-I О о > Г -•о < оЗ >

Г“!

£ действует в пространстве ^ ^*3 . 1/3
Г^=г<Г1?3)> * где £ -чентР 61 (<е2;е3/^>).
Нормализатор Г0 в (<^2, Р3, ) совпадаете
[16] ; Гг
21 = < х|+х|+х| , *г*Зх4 >
Любой элемент из А/^ ( Ву.) переводит в себя Ж((*у.) - _ = <<&*£ (4,9,0 ,0) > .поэтому А/^б^)
- Г± } ; М^Сбу.) действует в пространстве У<*1Г _ {ах?+/(адл)|^еи} • пусть В, И ргинварианты степеней 4 и 6 соответственно формы £ €: 1Ь как
кубической формы от трех переменных. Тогда В1 и - инварианты р ре л , поэтому (Я1 - инвариант А/^ (
в ]/&у степени 8, а д
Заметим, что л/0 £ N (V-)
4 г

- инвариант степени 16.
поэтому порядок группы