Генетика линейных групп и условия линейной представимости бесконечных групп

• Автор: Брюханов, Олег Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 65 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Ведение

ГЛАВА 1. Генетика универсальных групп Шевалле

§1. Генетика симплектических групп над коммутативными полуло-

кальными кольцами

§2. Предварительные сведения о группах Шевалле

§3. Определяющие соотношения универсальных групп Шевалле над

коммутативными кольцами

ГЛАВА 2. Условия матричной представимости бесконечных групп

§4. Матричная представимость нильпотентных произведений групп

§5. О группах, допускающих изоморфное представление матрицами над полями различной характеристики

ВВЕДЕНИЕ
В современной теории групп заметное место занимают группы преобразований—линейные группы и группы автоморфизмов различных алгебраических систем.
Диссертация посвящена изучению линейных групп.
Одним из важных направлений теории линейных групп является нахождение их порождающих множеств М и соответствующих им определяющих соотношений R. Пару [М\R) иногда называют генетикой группы (см.[12])
Классическим объектом изучения в этом направлении являются универсальные группы Шевалле (?(Ф, R), здесь Ф — тип группы, R — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Произвольная группа Шевалле является гомоморфным образом универсальной группы Шевалле С/(Ф, R) соответствующего типа Ф с ядром из ее диагональной подгруппы Я(Ф, R), по этому определяющие соотношения универсальных групп Шевалле С(Ф, R) играют важную роль в изучении произвольных групп Шевалле.
В изучении этого вопроса существенным оказывается, что конгруэнц-подгруппа £(Ф, R, J), по модулю квазирегулярного идеала J о R, факторизуется ее пересечениями с диагональной подгруппой Н(Ф, R), верхней и+(Ф, R) и нижней U~{Ф, R) унипотентными подгруппами. Факторизации конгруэнц-подгрупп £(Ф, R, J) при различных ограничениях на пару (Ф, R) установили Е. Abe [35] и M.R.Stein [44], в общем случае факторизацию конгруэнц-подгрупп доказал В.М.Левчук ([15], теорема 2), на скрученные группы факторизационная теорема перенесена С.А.Зюбиным [10].
Другим направлением в изучении линейных групп является нахо-
ждение необходимых и достаточных условий представимости матрицами абстрактных бесконечных групп. На фундаментальное значение этих исследований обратил внимание в своей работе А.И. Мальцев [16]. Этим вопросам посвящены работы таких авторов, как М.И. Кар-гаполов [11], В.М.Копытов [13], Е.М.Левич [14], Ю.И.Мерзляков [19] [20], [21] В.Н.Ремесленников [26], Н.С. Романовский [27], В.С.Чарин [32], W. Magnus [48], R Swan [46] и др. Наряду с этими исследованиями особый интерес приобретают вопросы, связанные с нахождением условий, при которых те или иные теоретико-групповые операции не выводят из класса линейных групп. Так В.Л.Нисневич [23] показал, что свободное произведение линейных групп будет линейной группой,Ю.Г.Вапнэ [6] описал условия, когда сплетения линейных групп будут представимы матрицами над полем, а в работе [7] частично ис-ф следовал вопрос о матричной представимости нильпотентных произве-
дений линейных групп.
Еще одним важным направлением является изучение строения линейных групп. Этой теме посвящена обширная литература (см. А.И. Мальцев [17], Ю.И.Мерзляков [21], Д.А.Супруненко [30], В. A. F. Wehr fritz [48] и др.) Классическим результатом является альтернатива Титса [47], утверждающая, что произвольная линейная группа G либо содержит свободную группу А?, либо является расширением разрешимой группы при помощи линейной периодической.
В настоящей диссертации получены следующие результаты.
1) Показано, что определяющими соотношениями универсальных групп Шевале в исследуемом случае являются стандартные соотношения Стейнберга и соотношения вида
0 xa(t)x-a(u) = х_0(и/р) ha{p) xa{t/p),

порождающих xa(t), wa(u), ha(u) определяются соотношениями (2.1),
(2.3), (2.4), и соотношениями
хаt)xZl(u)xa{t)X-a(u) = 1, tU = 0.
Лемма 3.4. Если гапкФ > 2 , то любое произведение порождающих xa(t), hp{u), при помощи соотношений из (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) можно переписать в виде гоп, где w - произведение таких порождающих xa(t)> hp(u), t rad/?, и $ 1 -frad/?, что произведение любых двух из них либо тривиально, либо не лежит в группе Е( Ф, /?, rad R), ал -произведение порождающих группы Е(Ф, /?, rad /?). Если гапкФ = 1, то любое произведение порождающих xa(t), hp(u) можно переписать к такому же виду при помощи соотношений из (2.1), (2.3), (2.4), (1.5).
Доказательство. Докажем лемму индукцией по числу порождающих из нашего произведения, не лежавших в группе Е(Ф, R, rad/?) и не удовлетворяющих утверждению леммы 3.1. Индукционный шаг состоит в следующем: все порождающие у из нашего произведения такие, что у е хеЕ{Ф, R, rad/?),
€ — ±1, при помощи соотношений из (2.1), (2.4) заменим на хеп(у), где
п{у) е /ДФ, /?, rad /?), х — самый левый порождающий, не лежащий в группе £(Ф, /?, rad /?) и не удовлетворяющий утверждению леммы, а затем, используя соотношения (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) и свойство 3, все порождающие группы Е{Ф, R, rad /?) перенесем вправо. Получаем, что наше произведение записывается в виде гоп при помощи соотношений из (2.1), (2.2), (2.4), (2.5), если rank Ф > 2 и соотношений из (2.1), (2.3),
(2.4), (2.5), если гапкФ = 1. Лемма 3.4 доказана.
Теорема 3.2. Пусть R — ассоциативное коммутативное кольцо с