Характеристические многочлены разностных модулей и расширений разностных полей

• Автор: Левин, Александр Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 148 c. : ил

Глава I Предварительные сведения

§1.1 Основные соглашения и обозначения

§ 1.2 Целозначные многочлены

§1.3 Градуировки и фильтрации

§ 1.4 Дифференцирования. Модули дифференциалов и

модули кэллеровых дифференциалов

§1.5 Некоторые основные понятия разностной алгебры

Глава 2 Характеристические многочлены разностных и инверсных разностных модулей и их инварианты

§2.1 Теорема о характеристическом многочлене градуированного разностного модуля

§2.2 Характеристические многочлены фильтрованных

разностных модулей

§ 2.3 Определение и некоторые свойства разностной
размерности
§2.4 Инверсные разностные модули
§ 2.5 Теорема о характеристическом многочлене фильтрованного инверсного разностного модуля. Инверсная
разностная размерность
§ 2.6 Тип и размерность разностных и инверсных разностных векторных пространств
Глава 3 Разностные размерностные многочлены расширений разностных полей
§3.1 Теорема существования разностного размерностного многочлена для сепарабельной отличной фильтрации разностного расширения

§3.2 Метод вычисления разностного размерностного
многочлена конечно порожденного разностного
расширения
§3.3 Разностных! размерностный многочлен простой системы разностных уравнений. Примеры вычислений разностного размерностного многочлена некоторых конкретных систем разностных уравнений
Глава 4 Применение разностных размерностных многочленов к исследованию разностных алгебр
§4.1 Тип и размерность конечно порожденной разностной алгебры над разностным полем
§4.2 Модуль кэллеровых дифференциалов разностной
алгебры. Разностные локальные алгебры
Литература

Основным направлением исследований в разностной алгебре является, как известно, изучение расширений разностных полей и систем алгебраических разностных уравнений. Первые результаты в этой области, полученные в 30-х годах в работах Ритта и Роденбаша [зз] , [34] и [35] , состояли в описании множеств решений некоторых конкретных обыкновенных разностных уравнений, а также в изучении разностных идеалов кольца разностных многочленов. Следующий этап развития разностной алгебры был связан с работами Бэбита [19] , Белиники-Бируля И и франка [24] , но главным образом с работами Кона, в монографии которого [21] , вышедшей в 1965 г., суммированы практически все полученные к этому времени результаты о разностных полях, кольцах разностных многочленов и алгебраических разностных уравнениях. Следует отметить, что во всех этих работах изучались лишь обыкновенные разностные уравнения, а все рассматриваемые разностные поля предполагались ординарными.
В последнее десятилетие было начато изучение частных разностных полей и систем частных разностных уравнений (см.[22], [25] ), для которых был получен ряд результатов по разностной теории Галуа, а также доказана теорема о базисе, обобщающая известную теорему Ритта [22]. В то же время в работах Колчина, Джонсона и др. была далеко продвинута теория частных дифференциальных полей и начато изучение частных дифференциальных модулей и алгебр. Значительное место в этих исследованиях занимает изучение дифференциальных размерно стных многочленов конечно порожденных расширений дифференциальных полей и их инвариантов (см. [2б], [29] и [о?] ), одни?,! из которых является дифференциальная степень трансцендентности расширения. Анализ проблематики дифференциальной алгебры, связанной с дифференциальным размерностным многочленом, был дан Колчи-

Лемма 2.2.1 Пусть V Ч/гО? — конечная фильтрация разностного Я-модуля И . Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) фильтрация хорошая;
(2) модуль И конечно порожден над кольцом Т)
Доказательство. Предположим сначала, что фильтрация 0)ге1
хорошая, т.е. существует такое число ^0^"2 , что К- Ч-г К
при всех , А>го . Для каждого , I $ % обозначим
через (е[])1< <5 какую-нибудь систему образующих к -модуля Если 0$1£1о , то любой элемент К -модуля 1®^х

можно записать в виде конечной линейной комбинации элементов &г.-® X*1 с ко-рициентами из кольца 1м (действительно, для любого элемента

ы® ахг е Мг®0 R
'Д*г имеем: Cj64- ( С• б ^ для всех
), откуда следует, что иг@ахг гС|6г^<2> G-X
= Z.St (cj® aoct)-£ Vа)Ц®**), Где с.® a e Ц®кRx° e £>
(uU $г) )• Если г>го » то п0 условию Мг®ккхг = СьгоМг®^кхг.
Покажем, что в этом случае любой элемент к-модуля Мг®К к хг монет быть записан в виде конечной линейной комбинации элементов
К ,
etj®X ( 0£i£t0 , U] < к^г0 ) с коэффициентами из
кольца X).Действительно , образующий элементу е. Иг®^к хг~ Х_г Мг^кх может быть записан в виде- Р (Г"VO ®axI , где р(р€ &),
ol-G ax R, vn-G М, ()<: i ^рф) . Так как элементы
1 • ~ ° ’ М Р
е . {Ш S, ^ порождают модуль IL над кольцом | , то существуМ ° Г> 0 хг
ют такие элементы Сц€ К (иирЦЬ 1 £j S Sto) , что ta.L=2. С° £г •
РФ ° j=1 ol
(Ui / V г тч°/^ I L г vV г
= (Д <Ц, щч>ах = £ (£ Фч®йхфГх'Где
plt '
7 cUi; ej) U J .; L Ч <-~>-o _ °

S. Л
p z4 d'et. ® ax' = Z (d; ® a Xм-) (e4 ex-)
J PI j 4 i-{ J