О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости

• Автор: Петрушов, Олег Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с.

Оглавление
1 Введение
2 Асимптотические оценки функций на основе
поведения их преобразования Лапласа вблизи особых точек
2.1 Общие теоремы
2.1.1 Теоремы об особенности преобразования Лапласа
2.1.2 О точности неравенств в теоремах
2.1.3 Следствия из теорем 1-2 для интегралов и рядов Дирихле
2.2 Частные случаи
2.2.1 Пример применения результатов секции 2.
2.2.2 Следствия для теоретико-числовых функций
2.3 Оценки модуля функций на основании поведения их преобразования Лапласа
3 Поведение степенных рядов
вблизи единичной окружности
3.1 О степенных рядах, отвечающих степеням дзета-
функции
3.1.1 Свойства интегралов Дирихле и лемма о разложении тригонометрической
последовательности по характерам
3.1.2 Возведение в степень эйлеровых произведений .
3.1.3 Разложение в ряд Дирихле степени эйлерова
произведения
3.1.4 Доказательство теоремы
3.2 Общие теоремы о степенных рядах
3.2.1 Структура рядов Дирихле мультипликативных
и аддитивных последовательностей
3.2.2 Свойства кручения характером и свойства
скрученных сумм с простыми числами
3.2.3 Поведение рядов Дирихле со вполне мультипликативными коэффициентами и
их кручений в единице
3.2.4 Теоремы о степенных рядах
мультипликативных последовательностей
3.2.5 Теоремы об асимптотическом анализе
степенных рядов
3.2.6 Теоремы о степенных рядах аддитивных
последовательностей
3.2.7 Оценки степенных рядов с коэффициентами -
классическими арифметическими функциями .
3.3 Поведение М(г)
3.3.1 Оценки функций щ, на прямых о =
—0.5 — N
3.3.2 Совместные оценки функций ц]~ху(х -
примитивные характеры) на горизонтальных отрезках
3.3.3 Доказательство теоремы
3.3.4 Теоремы о поведении степенного ряда М(г) при
некоторых условиях
3.3.5 Следствие для частичных сумм
3.3.6 Малые модули

Глава
Введение
В диссертации изучается поведение преобразования Лапласа вблизи границы области сходимости. В главе 1 приводится история проблемы и обзор результатов диссертации. В главе 2 из свойств преобразования Лапласа функций вблизи границы области аналитичности выводятся свойства самих функций. Общий результат применяется к теоретико-числовым функциям. Степенной ряд после простой замены становится также преобразованием Лапласа некоторой меры. В главе 3 изучается поведение сумм степенных рядов с коэффициентами - значениями арифметических функций вблизи границы единичного круга.
В главе 2 рассматривается связь между поведением действительной функции р{€) при £ —► +оо и поведением преобразования Лапласа ^[г/](з) заряда аО(£)
вблизи его особой точки. Известна классическая тауберова теорема (см [1] стр 192), которая является следствием результата Караматы (см [1] стр 191):
Пусть и(х) - неубывающая функция, интеграл (1.1) сходится
(1.1)
что противоречит третьему условию теоремы. Теорема доказана. Теперь выведем следствия для интеграла Дирихле.
Пусть /(з) - интеграл Дирихле

/(в) = / и8~1/(и)ди,

где /(и) е Ь[г, /2] при любых 0 < г < Л < оо, и
/Дз) = [ и*~1/(и)<1и. д о
Теорема 14. Пусть /(и) € Т[г, Щ при любых 0 < г < Я < оо,

us~lf{u)du,

Пусть I(s) обладает следующими свойствами:
1) h{s) — uS~lI(и)^и сходится при всех s.
2) инт,еграл I(s) сходится при Sfls > о.
3) функция I(s) аналитически продолжается в некоторую область G такую, чт,о G С (92(s) > <т0}, и (fo+ito, а0+йо + а) С G, где а > 0.
4) Существуют числа с > 0, а > 0, т € No такие, что
Вт + ■*. + *)! > , (2.38)
г—0+ х~а(— In х)т
Тогда справедливо неравенство
и—>о+ (— Inи)а~^та~а° (1п(— Inи)')т ~ Г(а)’ (2-39)
Доказательство Сделаем в интеграле Дирихле Д(з) = fo C~l f{t)dt замену переменной t — е~и. Тогда

h(s) = / e-suf{e~u)du. Jo