Элементы малых порядков и локально конечные группы

• Автор: Мамонтов, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 62 с.

1 Введение

2 Основные определения и предварительные результаты

2.1 Обозначения

2.2 Нильпотентные группы

2.3 Локально конечные группы

3 Обобщение теоремы Вэра-Сузуки на бесконечные группы

3.1 Достаточное условие нильпотентности

3.2 Доказательство теоремы

4 Локально конечные группы, порожденные классом элементов порядка 3

4.1 Соотношения для некоторых групп

4.2 Подгруппы, порожденные тремя Л-элементами

4.3 Свойства И^-подгрупп
4.4 Частные случаи теоремы
4.5 Лемма об 51|2(5)-подгруппах
4.6 Доказательство теоремы
5 Доказательство локальной конечности групп со спектром {1,2,3,5,6}
5.1 Локально конечные группы со спектром {1,2,3, 5, 6}
5.2 Подгруппы, порожденные элементами малых порядков

5.3 Разрешимость конечных подгрупп
5.4 Разрешимый случай
Глава
Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
Одним из важных направлений развития теории групп является перенос (естественно, не всегда полный) различных результатов о конечных группах на группы, которые не являются априори конечными. В частности, доказательство локальной конечности некоторого класса групп также обеспечивает такую переносимость результатов. Диссертация посвящена указанному направлению. Элементы малых порядков играют особую роль при изучении конечных групп. С другой стороны в этом направлении интересно и перспективно рассматривать именно группы с элементами малых порядков. Поэтому, после некоторых довольно общих результатов, в диссертации обсуждаются преимущественно группы с элементами малых порядков, и основное внимание уделяется вопросу о том, какие свойства таких групп способны обеспечить их локальную конечность.
Важной задачей при изучении групп является выяснение вопроса об их нормальном строении. Естественный источник нормальных подгрупп — подгруппы, порожденные классом сопряженных элементов. Пусть С — класс сопряженных элементов группы. Интересным является следующий вопрос: если для любых двух элементов х и у из С нам известно строение подгруппы (х,у), порожденной этими элементами, то что можно сказать про подгруппу (С)? В теории конечных групп встречается ряд результатов, сформулированных в таком

Глава 5. Доказательство локальной конечности групп со спектром {1,2,3,5,6}
Очевидно, ЛГд(//) = Са{Н) = Н. По замечанию Фраттини О = 05(С)ЛГ(з(Я) = О5((?)//, и выполнен первый пункт леммы.
Пусть 0^{й) = 1. Тогда еиловская 5-подгруппа II из (? является дополнением в группе Фробениуса 0&(С)Н и поэтому является циклической группой порядка 5. Далее, Сс{Н) = 1 и, следовательно, Я0(Я)/Я изоморфна подгруппе группы автоморфизмов Я. Отсюда следует, что ЯДЯ) = Я или Агс(Я) = Я, где Б — группа диэдра порядка 10. По теореме Томпсона [12, Теорема 6.24] 05'(б) —■ пильпотентная группа. Её силонская 2-иодгруппа элементарная абелева, а еиловская 3-подгруппа, как группа периода 3, трёхступенно нильпотентна. Если А^Я) = Я, то по замечанию Фраттини выполнен третий пункт заключения леммы. Если же Агс;(Я) порядка 10, то, поскольку еиловская 2-подгруппа из й элементарна, еиловская 2-подгрунпа в 0^(С) тривиальна, и выполнен пункт (2) заключения леммы.
Пусть теперь С бесконечна. Если х п у — элементы порядков 5 и 6 из то Я = (х,у) — конечная группа, для которой выполнен один из пунктов (1)-(3).
Пусть выполнен пункт (1) и Я = РС, где Р — элементарная абелева 5-группа, нормальная в Я, а С — циклическая группа порядка 6. Покажем, что О = Са{Р)С и Са{Р) — элементарная абелева р-группа. Действительно, если х € С, то X = (Я, ж) — конечная группа, для которой выполняется пункт (1) заключения леммы. Ясно, что X = Оь{Х)С, где Р < 0-0(Х) < Са{Р). Поэтому х € Са(Р)С. Если а,Ь е Са(Р), то подгруппа {а,Ь,С) удовлетворяет пункту (1) и поэтому а и Ь перестановочны. ,
Пусть для Я выполнен пункт (3). Аналогично предыдущему доказывается, что нее элементы порядка 2 и 3 из С порождают {2,3}-подгруппу, любой 2-элемент из й перестановочен с любым её 3-элементом и С = Ог>>(С)Р, где Р — группа порядка 5.
Аналогично, если Н = Оз(Н)Б, где О — группа диэдра порядка 10, то все элементы порядка 3 из С порождают трехступенно нильпотентную 3-подгруппу
О3(0) и в = 0з(