О некоторых свойствах алгебр матричных инвариантов над бесконечными полями конечной характеристики

• Автор: Кузьмин, Сергей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 55 с.

Оглавление
1. Введение
2. Необходимые определения и теоремы
3. Свойства алгебр матричных инвариантов
3.1. Свойство Коэна-Маколея Д2,т
3.2. Минимальная система порождающих Я„іт
3.3. Однородная система параметров Д2,т
3.4. Локальные свойства
4. Коэн-Маколеево представление /?2>5
V 4.1. Коэн-Маколеево представление Д2>5 над полем нечетной характеристики .
4.2. Коэн-Маколеево представление /?2|5 над полем характеристики
5. Литература

1. Введение
Теория инвариантов за 150 лет своего развития прошла множество этапов. Ее становление было связано с именами Гаусса, Вейерштрасса, Сильвестра, Клебша, Гордона, Кэли и др. Гильберт завершил эту эпоху и одновременно дал толчок к развитию современного понимания того, что является предметом (алгебраической) теории инвариантов в наиболее общей постановке этого вопроса. Следующий этап, связанный с развитием абстрактной алгебры, позволил обобщить многие классические результаты для достаточное широких классов алгебраических групп, действующих рационально на аффинных многообразиях. Естественным следствием этого процесса был и отказ от ограничений на основное поле, над которым определены перечисленные выше объекты. Теперь это не только К или С, но и произвольное поле любой характеристики. Решение 14-й проблемы Гильберта позволило выделить такой естественный класс алгебраических групп, как редуктивные группы. Оказалось, что редуктивные группы, и только они, обладают тем свойством, что для любого их рационального действия на любом аффинном многообразии, соответствующая алгебра инвариантов конечно порождена. В одну сторону это было известно благодаря работам Гильберта и Нагаты, обратное утверждение было доказано Поповым. Однако, несмотря на столь значительный прогресс в абстрактной теории инвариантов, до сих пор нет достаточно эффективных методов нахождения порождающих инвариантов даже в некоторых классических случаях, считавшихся важными еще 100 лет назад. Кроме того, эта проблема значительно осложняется, если мы включаем сюда и поля конечной характеристики. С развитием компьютерной алгебры, символьных вычислений, и, более конкретно, таких методов, как алгоритм Бухбергера нахождения базисов Гребнера-Ширшова, задача явного вычисления минимальной системы порождающих, а также всех определяющих соотношений между ними, снова приобрела тот смысл, который в нее вкладывал Гордон и его ученики (среди которых, кстати, была и Эмма Нетер, по праву считающаяся одним из основоположников современной абстрактной алгебры).
Один из способов решения этой задачи — найти общие свойства колец инвариантов редуктивных групп, которые позволили бы упростить вычисления, еще лучше, свести их, в том или ином смысле, к линейной алгебре. Одним из таких свойств является свойство Коэна-Маколея. Большинство алгебр инвариантов обладает естественной градуировкой, такой, что компонента нулевой степени совпадает с основным полем. В этом классе алгебр свойство Коэна-Маколея эквивалентно свойству быть свободным модулем над подалгеброй параметров (Предложение 2.10). Если мы знаем систему параметров
и систему свободных порождающих нашей алгебры как модуля над подалгеброй параметров, то есть то, что обычно называют разложением Хиронаки, тогда мы получаем массу полезной информации о самой алгебре инвариантов. Мы можем вычислить ряд Гильберта, определяющие соотношения, сизигии, все типы размерности и т.д.
Замечательная теорема Хохстера-Робертса говорит, что алгебры инвариантов линейно редуктивных групп всегда Коэн-Маколеевы. К сожалению, эта теорема почти бесполезна в модулярном случае, так как здесь линейно редуктивными являются только конечные расширения торов. Более того, как показал недавно Кемпер ([24]), Коэн-Маколеевость всех алгебр инвариантов данной группы эквивалентна ее линейной редук-тивности. Таким образом, даже группа может иметь рациональное представление, алгебра инвариантов которого не Коэн-Макалеева, если основное поле имеет ненулевую характеристику.
В данной работе все вышеперечисленные задачи решаются для алгебры инвариантов нескольких матриц второго порядка над бесконечным полем произвольной характеристики. Мы покажем, что алгебра инвариантов 2x2 матриц всегда Коэн-Маколеева (Теорема 3.1,1), что обобщает результат Мета и Рамадаса ([33]), доказавших это утверждение для полей печетной характеристики. Кроме того, наше доказательство относительно элементарно, так как сводит проблему к хорошо известному случаю векторных инвариантов. Далее, мы находим минималную систему порождающих для любого числа 2x2 матриц (Следствие 3.2.2), разложение Хиронаки для не более чем пяти матриц (Теорема 4.1.1, Теорема 4.2.1) и отмечаем, что случай четной характеристики существенно отличается от случая нечетной характеристики. Это замечание обобщается на матрицы произвольного размера (Следствие 3.2.1). Именно мы показываем, что максимальная степень порождающих любой минимальной системы порождающих алгебры инвариантов т 7і х п матриц не может быть меньше чем т, если характеристика поля не превосходит п. Последний результат имеет особое значение, так как знание максимальной степени порождающих позволяет оценить вычислительную сложность нахождения хотя бы одной минимальной системы порождающих.
Несмотря на то, что многие из перечисленных выше результатов, даже в случае матриц второго порядка, носят отрицательный характер, многое сохраняется и при переходе к полям конечной характеристики. Одним из таких результатов является теорема Ле Брюна-Тераниши, которая описывает все случаи, когда алгебра матричных инвариантов является полным пересечением (Теорема 3.3.1). Доказательство использует описание локальной структуры соответствующего фактормногообразия, обобщенное недавно
и существует п-мерный /.>т-молуль представления типа т, тогда 'т — локально полное пересечение в точке б.
Выберем теперь п 1, и2 & N так, чтобы п = п, + п2. Условие п, т > 2 влечет существование представления Лт типа сг = (1, гг]; 1,п2). По построению локальный колчан является ориентированным графом, содержащим две вершипы о,, г>2, а,- = (т—1)п?+1 петель инцендептных соответствующей вершине, 6 = (т— 1)П1П2 ребер ИЗ Н] В Ь'2, и 6 ребер из и2 в щ. Легко явно описать координатное кольцо 14 ([29,16]): оно является коммутативной полиномиальной алгеброй от щ +а2 переменных над С, где С = А'[х,гу | 1 < г, у < 6] — подалгебра полиномиальной алгебры от 26 переменных х,-, гу (1 < г,у < 6). Ясно, что С = К[1у | 1 < г,у < 6]/Г2, где /2 — идеал, порожденный определителями 2x2 миноров общей 6x6 матрицы (2,у). Таким образом, С — координатное кольцо многообразия 6x6 матриц ранга < 1. Хорошо известно, что эта алгебра локально полное пересечение в О тогда и только тогда, когда 6 < 2. Отсюда следует, что 14 — локально полное пересечение в б тогда и только тогда, когда 6 = (т — 1)п!П2 < 2, откуда (п,т) равно (2,2), (2,3), или (3,2).
3) =Ф 2). Хорошо известно, что Яцт и Яп>1 — полиномиальные алгебры от т и п переменных соответственно.
Из Следствия 3.2.2 мы получаем, что Я2>2 порождается элементами
1г(Х,), П(Х2), с1е1(Х,), <]е1(*2), ЩХ,Х2) ,
и по Предложению 3.3 они алгебраически независимы.
Из [17] ряд Гильберта Я2,з
1 + Т3 ^ _ ф)зЦ _ х2)6 ’
По Следствию 3.2.2, Я2,3 порождается элементами
1г(Х;), Ж*(*,-), 1г(АуХ*), ({ = 1,2,3, 1 < у < к < 3) ^(А'.^А'з) ,
а первые девять порождающих образуют однородную систему параметров по Предложению 3.3; обозначим через Р подалгебру параметров, порожденную этой однородной системой параметров. Элемент 1т(Х,Х2Х3) целый над Р. Мы должны доказать, что Р-подмодуль Р + Р1г(Л'1.'2.Уз) — свободен (предположив противное мы видим, что ^(^ХгЛГз) содержится бы в поле частных Р, что противоречит целозамкнутости полиномиальной алгебры Р). Ряд Гильберта алгебры Я2,3 показывает, что Я2,з совпадает со свободным Р-подмодулем, порожденным 1 и ир^ХгХз). В частности, 1г(А'1А'2Л'3)