Полугруппы изотонных преобразований частично упорядоченных множеств

• Автор: Ким, Виктор Иргюевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с. : ил.

Глава 1 Анализ теории полугрупп преобразований
1.1 Предварительные сведения
1.1.1 Полугруппы преобразований
1.1.2 Полугрупповые приложения
1.1.3 Отношения Грина
1.1.4 Обобщенные отношения Грина
1.2 Полугруппы преобразований с убывающим порядком
1.3 Полугруппы изотонных преобразований
1.3.1 Образующие множества
Глава 2 Полугруппы изотонных преобразований цепей
2.1 Полугруппы изотонных преобразований
2.2 Полугруппы изотонных преобразований с убывающим порядком
2.2.1 Рекуррентная формула
2.2.2 Оценки мощности полугруппы £>„
2.3 Связь полугрупп Оп и Оп
2.4 Условия регулярности полугрупп изотонных преобразований счётных цепей
Глава 3 Полугруппы изотонных преобразований НЕ-цепей
3.1 Регулярность полугрупп изотонных преобразований НЕ-цепей. Теорема Айзенштат
3.2 Слабо регулярные полугруппы изотонных преобразований НЕ-цепей
3.2.1 Трёхдольные множества
3.2.2 Двудольные множества
3.3 Биполигон над полугруппами изотонных преобразований

Глава 4 Полугруппы конечных и коконечных изотонных преобразований
Приложение
Литература

Актуальность темы. Изучение полугрупп преобразований, сохраняющих структуру множества, является интересной и важной задачей общей алгебры. К таким полугруппам относятся, в частности, полугруппы непрерывных отображений топологических пространств, полугруппы эндоморфизмов графов, полугруппы отображений частично упорядоченных множеств, сохраняющих порядок (т.е. изотонных).
Любая полугруппа вкладывается в полугруппу преобразований некоторого множества. Этот факт свидетельствует о важности полугруппы преобразований в теории полугрупп. Если на данном множестве задана некоторая структура (например, топология, отношения порядка и т.д.), то естественно рассматривать полугруппы таких отображений, которые сохраняют данную структуру. Данная диссертация посвящена изучению полугрупп изотонных преобразований частично упорядоченных, а также квазиупорядоченных множеств.
Полугруппа изотонных преобразований изучалась во многих работах. Так,
А.Я.Айзенштат в [2] построила копредставление полугруппы изотонных преобразований конечной цепи, т.е. задание этой полугруппы образующими и соотношениями. Б.М.Шайн в [42] исследовал условия представимости элемента полугруппы изотонных преобразований произвольной цепи в виде произведения идемпотентов. Эквивалентность элементарных теорий полугрупп изотонных преобразований рассматривалась Ю.М.Важениным [5] и Л.А.Скорняковым [18]. Хиггинс, Митчелл и Рушкуц [26] для некоторых цепей находили ранг полугруппы преобразований относительно полугруппы изотонных преобразований. Перечислительно-комбинаторным вопросам полугруппы изотонных преобразований посвящена серия работ А.Умара (см., например, [35], [47]). А.Крохин [33] и Б.Ларуз [37] изучали клоны операций, сохраняющих порядок конечной цепи.

(1) если а[3 = а, то Р тождественно на пн а (т.е. х/3 = х при х е та);
(2) если ра - а, то отображение р сохраняет отношение кега (т.е. КРсК для любого класса К отношения кега).
На частично упорядоченном множестве X введём отношение полагая а~Ь, если существуют элементы х1 хпеХ такие, что а < Х[ > х2 <... > хп < Ь. Нетрудно видеть, что ~ - отношение эквивалентности. Классы этого отношения мы будем называть компонентами связности множества X. Они соответствуют компонентам связности графа данного частично упорядоченного множества X. Частично упорядоченное множество X называется связным, если оно состоит из одной компоненты связности, или, другими словами, если а ~ Ь для любых а,ЬеХ.
Лемма 3.2. Пусть X - частично упорядоченное множество. Если О(Х) -слабо регулярная в широком смысле полугруппа, то либо X связно, либо X - антицепь.
Доказательство. Пусть X - несвязно и не является антицепью. Тогда а <Ъ для некоторых а,Ь^Х. Зафиксируем элементы а,Ь и обозначим через Х0 компоненту связности, содержащую эти элементы. Пусть X, -объединение остальных компонент. Рассмотрим отображение а : X —»• X, определённое правилом
Г а, еслихеХ0, ха = <
[й, если х 6 Хх.
Если х < у для некоторых х,уеХ, то х,у принадлежат одной компоненте связности. Следовательно, ха = уа. Это доказывает, что а сохраняет порядок, т.е. а е О(Х). Для доказательства леммы нам достаточно доказать, что а ^ аРау и а Ф рауа при любых р,у е О(Х).