Формальная геометрия и алгебраические инварианты геометрических структур

• Автор: Хорошкин, Антон Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

0 Введение

0.1 История вопроса

0.2 Основные результаты

0.3 Краткое описание диссертции

0.4 Благодарности

1 Когомологии алгебр Ли и алгебра Вейля

1 Когомологии алгебр Ли

1.1 Примеры 'ЮПОЛ01 ических ал1ебр Ли

1 2 Когомологии абсолютные и относительные

2 Алгебра Вейля

2.1 Определение ОО-алгебры Вейля

2 1.1 Относительная алгебра Вейля
2 2 Связности и морфизмы из алгебры Вейля
2.2 1 Построение характеристических классов. Гомоморфизм Черна-Вейля
2.2.2 Главное однородное Ь-пространсгво и плоская связность

2.2.3 Алгебра Вейля и спектральная последовательность
Серра Хохшильда
2 3 Алгебра Вейля алгебры Ли gln
2.4 Алгебра Вейля аліебрьі Ли XVп (формулировка результатов)
3 Когомологии некоторых алгебр Ли и связь с алгебрами Вейля
3.1 Алгебра Ли Иф к g ® Оп и её когомологии
3.2 Векторные поля, сохраняющие флаг слоений
II Геометрические инварианты и когомологии алгебр Ли
4 Формальная геометрия и характеристические классы
4 1 Характеристические классы расслоений
4.2 Характеристические классы флагов слоений
4.2.1 Случай полных флагов п = (1 1)
4.3 Характеристические классы семейств
5 Сизигии некоторых квадратичных многообразий
5.1 Сизигии и кої омологии алгебр Ли
5.2 Кривая Веронезе
5.3 Грассманиан Сг(2, А)
III Вычисления когомологий некоторых бесконечномерных алгебр Ли
6 Вычисление когомологий алгебры Ли Уп к g С> Оп

6.1 Относительный коцепной комплекс
6.2 §1п-инварианты
7 Когомологии {*{ХУп, 5тIV*)
7.1 Граф-комплексы
7.2 Относительные когомологии Н*(Иф1+„^1т)Гг; к)
7.3 Алгебра Вейля алгебры Ли Уп (вычисления)
7.3.1 Связь когомологий азиебр Ли Ут+п и Ут^п
7.3.2 Формулы для коциклов
7.3.3 Частный случай п
8 Когомологии Н*(И/„, И/*Ят)
8.1 Векторные поля, сохраняющие набор коммутирующих слоений
8 2 Верхняя оценка когомологий
8 3 Нижняя оценка когомологий
Литература

іоіцей алгеброй U(LA/), где K*[l] — дізойсгвенное иросіранство с измененной чётностью. Алгебра Ли Ьм снабжена естественной градуировкой но степени элементов И содержиі иодалі'ебру Ли ЛІЗ, состоянию из элементов степени, не меньшей 2. Имеет место следующая теорема, связывающая сизигии с когомологиями этой алгебры Ли.
Теорема ([39],[32]). Если квадратичная коммутативная алгебра Ом кошу лева. то для любой пары (k,l) компонента степени I в к-х сизигиях изоморфна компоненте степени I в (l — k)-x когомологиях алгебры JIu L5f2-’
TorfJ(0M,k) = н'-Щйи.
Настоящая работа посвящена применению этой общей теоремы к вычислению сизигий грассманиана двумерных плоскостей. Основной результат содержится в теореме 9.
5.2 Кривая Веронезе
Пусть U — плоскость с координатами (и, и) Вложение Веронезе
р (U) = Р^Г = Р {S1lU)
в мономиальных координатах на Р(SnU) задаётся отображением
(и : v) і—> (и11: u1l~1v : un~2v2:... : vn).
Соответствующая координатная алгебра Оуег квадратична и кошулева ([22, ch.3, §2]),
0Ver = k[a:0, • • •, я*п]/{хгл3 - хкхтг + j = k + m).