Геометрическое квантование в рамках алгебраической лагранжевой геометрии

• Автор: Тюрин, Николай Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Геометрическое квантование в геометрической формулировке квантовой механики
1.1. Гильбертово пространство как келерово многообразие
1.2. Настоящее квантовое фазовое пространство
1.3. Риманова геометрия и процесс измерения
1.4. Постулаты квантовой механики
1.5. Квантование Сурьо - Костанта
1.6. Комплексная и вещественная поляризации
Глава 2. Принцип соответствия в алгебраической лагранжевой геометрии
2.1. Условие Бора - Зоммерфельда
2.2. Конструкция удвоения. Келерова структура
2.3. Индуцированные функции на многообразии модулей
Глава 3. Динамическое соответствие в алгебраической лагранжевой геометрии
3.1. Квазисимволы над келеровыми многообразиями
3.2. Динамическое соответствие
3.3. Доказательство Предложения
3.4. Критические точки Fj
Глава 4. АЛГ(а) - квантование
4.1. Геометрия квантования
4.2. Вещественная поляризация
4.3. Комплексная поляризация
Глава 5. Пространства эрмитовых троек и уравнения Зайберга- Виттена
5.1. Эрмитовы тройки и уравнения Зайберга - Виттена
5.2. Простейшие свойства канонического отображения т
5.3. Структура пространства эрмитовых троек
5.4. Необходимое условие на базисные классы стр.104 Глава 6. Приложение: супергеометрия
6.1. Условие Бора - Зоммерфельда с точки зрения супергеометрии
6.2. Представление классических наблюдаемых суперфункциямистр.112 Заключение
Литература

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ В РАМКАХ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЛАГРАНЖЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Н.А.Тюрин
ВВЕДЕНИЕ
Основная тема настоящей диссертационной работы — квантование классических механических систем в терминах алгебраической геометрии. Таким образом, в пашей работе оказываются связанными вопросы физики и математики. Напомним коротко основные проблемы и методы, которые породили наш подход к квантованию.
Квантование — это необычайно важный и популярный предмет в теоретической физике. Необходимость появления и развития этого предмета была продиктовала создателями квантовой теории. Согласно копепгагенской программе, физические представления о квантовой теории должны иметь формулировку в терминах классических концепций. То есть в дополнение к традиционной структуре (гильбертово пространство, унитарные преобразования, самосопряженные операторы) топкая квантовая теория должна допускать переход к классическому пределу, при котором квантовые наблюдаемые связываются с классическими наблюдаемыми. Однако, как подчеркивал Дирак назаре кваптовой теории, такое соответствие между квантовой теорией и классической теорией должно проистекать в большей степени не из численных совпадений при переходе к пределу к —> оо, а из апалогии между их математическими структурами: первичность классической теории не в приближении квантовой теории, а в создании рамок для ее интерпретации. Исходя из этой концепции, мы можем трактовать квантование в широком смысле как некоторое соответствие между классическими теориями и квантовыми теориями. При этом квантование классических механических систем представляется переходом в одну сторону, а процесс сведения квантовой системы к классической в смысле Дирака дает обратное отображение. Более красиво и емко это можно выразить так: многообразие модулей квантовых теорий является п - листным накрытием многообразия модулей классических теорий (предпологают что п = 2), и кваптовапие — это структура накрытия.
Непосредственно предмет квантования необычайно популярен. Имеется целый спектр различных подходов к задаче квантования. Однако, один из этих методов признается в теоретической физике первым и называется каноническим квантованием. В простых случаях, которые встречаются в элементарной квантовой механике, требуемое соответствие основывается на выбранных и фиксированных канонических координатах: классическое наблюдаемое, пред-
ТуревеЬ Ьу -Дд/(5-ТеХ
ставленное некоторой функцией /(р„, г/) н канонических координатах, ассоциируется с квантовым наблюдаемым, представленным оператором

/(—г/г——, q,,).

Каноническое квантование гармонического осциллятора является в теоретическое физике некоторым эталоном: любой альтернативный подход предлагают проверить в применении к данной классической задаче, и если ответ не сходится с каноническим, то такой подход забраковывается. Однако, такая формальная подстановка, когда вместо координат ]>а в выражение для функции подставляют дифференциальный оператор, порождает множество проблем. Действительно, кроме простейших случаев, при этом переходе квантовое наблюдаемое зависит от порядка р и <7 в классическом выражении для /, и само квантование существенно зависит от первоначального выбора координат и не является инвариантным относительно общих канонических преобразований, к тому же область определения получаемого оператора остается неопределенной этим формальным выражением. Тем не менее, дополненное физической интуицией, каноническое квантование и его различные обобщения оказались необычайно плодотворными методами, развитием которых по сути и занимается в паши дни теоретическая физика.
Одпим из путей развития является геометрическое квантование. Геометрическое квантование — предмет настоящей работы — как термин может восприниматься двояко. Конечно же, под геометрическим квантованием можпо подразумевать и абсолютно конкретную конструкцию (см. [12], [20], [34] и пр.), называемую еще квантованием Сурьо - Костанта, и общий подход к проблеме квантования классических механических систем, использующий геометрию. Проблема квантования в наши дни решается различными способами: алгебраические подходы включают в себя деформационное квантование, формальную геометрию, некоммутативную геометрию, квантовые группы и т.д.; аналитические методы используются в теориях интегральных операторов Фурье, теплицевых структурах и плотиостпых распределениях. Однако все эти методы сходятся в одном — используя их, мы совершенно забываем исходную систему, возврат к которой становится невозможным. Геометрическое квантование корепным образом отличается от упомянутых методов тем, что оригинальное симнлек-тическое многообразие, отвечающее исходной классической системе, остается ”в игре” — включается в определение вспомогательных геометрических объектов, используемых для построения соответствующей квантовой механики. При этом геометрическое квантование, ориентируясь па каноническое квантование, отказывается от выбора координат и строится как метод, применимый в общей ситуации, когда фазовое пространство искривлено и вообще не допускает выбора глобальных координат. Стартуя с классического фазового пространства системы, не допускающей канонического квантования, геометрическое квантование должно приводить к построению гильбертова пространства и квантовых наблюдаемых на нем, и при этом в применении к простым системам результаты геометрического квантования должны совпадать с результатами канонического квантования (см. [34]). Известные методы работают по одной и той же

руемых операторов
[С?/, <2д] = (V*, + 2пі/)(Уха + 2ігід)
-(Vл•в +2під)(7х, + 2іхі{) =
Vx/ Vx(, - УхвУХ/ + 2піК?х,д - 2піУхяІ
= Vx/Vxl, - VxвVx/ + 4тгі{/,<7} (1.5.13)
= + ЩХі,Хд) +4т{/,д}и
= У *(/,»)* — 27гг'{/, <7} +4ггг{/,<7}„ =
У*{/.»)« + 27гг{/>^}«>
то єсть принцип соответствия удовлетворен. Однако, как нетрудно видеть, оператор <2/ для любой вещественной функции / не является самосопряженным — наоборот, покажем, что этот оператор унитарен. Для любой пары волновых функций — сечений расслоения предквантовання — имеем
< Я/зиз2 >ч= / < Чх,3 +2тгі/яі,л2 >а фх/, =

/ < йааі,з2 >л {Х/)(Ііч - <зі,2піз2 > фа =
Ум Ум
/ <1 < зі,з2 >/, (Аг/)фа — / < зі,<Іа32 > (А/)фа— (1.5.14)
Ум Ум
/ < зі,2яіз2 >л Фа = / {/,з}и>фа-/ < з,Ух,»г> йць Ум Ум Ум
— / < ві,2яіз2 > фа = — / < 31,(2/32 > фа,
Ум Ум

£Г =< льз2 >Л6 С°°(М,К),
поскольку интеграл от скобок Пуассона любой пары функций равен нулю. Чтобы произвести в данной ситуации представление самосопряженными операторами прибегают к следующему приему. Если проделать конструкцию геометрического квантования по отношению к линейному расслоению Ь' со связностью а, кривизна которой равна
= —27ГЇС0,
то в соотношении (1.5.13) знак поменяется на обратный:
[Ф/іФїі = ~
Если теперь перейти к операторам
<2/= 1(2/, (1.5.12’)
то все такие операторы будут самосопряженными, и принцип соответствия будет удовлетворен. Этот прием и дает квантование Сурьо - Костапта (см. [12], [20], [34]).