Характеризации черниковских групп и групп, близких к фробениусовым

• Автор: Попов, Алексей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 134 с.

0.1. Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Обозначения и определения

1.2. Результаты общего характера

1.3. Некоторые сведения о черниковских группах

1.4. Свойства фробениусовых и близких к фробениусовым групп

2. Характеризации примерных черниковских групп

2.1. Формулировка основных результатов главы

2.2. Основные леммы примарного случая

2.3. Доказательство теорем 1 и

2.4. Группы с обобщённо конечным элементом

2.5. Группы с почти Я-конечным элементом
3. Характеризации черниковских групп без инволюций
3.1. Группы с почти конечным элементом
3.2. Квазифробениусовы подгруппы в группе С
3.3. Характеризация черниковских групп с почти регулярным элементом
3.4. Конечные элементы с черниковскими централизаторами
в группах без инволюций

4. Группы с Я-фробениусовыми элементами
4.1. Формулировки основных результатов главы
4*2. Обозначения и леммы общего характера
4.3. Я-фробениусов элемент порядка
4.4. Конечный Я-фробениусов элемент
4.5. Чётный Я-фробениусов элемент
5. Характеризации групп Фробениуса
5.1. Определения и формулировки теорем
5.2. Леммы общего характера
• 5.3. Свойства пар Фробениуса с инволюциями
5.4. Доказательство теорем 12,
5.5. Пары с конечно вложенной инволюцией
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации

0.1. Введение
ч" Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация параграфов имеет указатель на номер главы. Нумерация лемм сквозная в пределах каждой главы и имеет составной указатель (т.п.р), где т — номер текущей главы, п — номер параграфа.
Диссертация посвящена вопросам абстрактной теории групп. В первой главе приведены предварительные сведения: обозначения, определения и известные результаты, используемые в диссертации. Во второй главе изучаются примарные группы, обладающие элементами простых порядков с черниковскими централизаторами. Третья Глава IIосвящена характеризации черниковских групп (не обязательно примарных) без инволюций. В четвёртой главе доказываются теоремы о группах с Я-фробениусовыми элементами, составляющие частичное решение вопроса 10.61 из Коуровской тетради и характеризующие строение нормального замыкания таких элементов. Пятая Глава IIосвящена доказательствам аналогов теоремы Фробениуса для групп с некоторыми условиями конечности и характеризациям фробениусовых групп.
Черниковские и фробениусовы группы — классические объекты исследований абстрактной теории групп. Их особая роль в теории групп известна давно. Экстремальные, т.е. почти абелевы группы с условием минимальности впервые были введены С.Н. Черниковым в связи с описанием локально разрешимых групп с условием минимальности для (абелевых) подгрупп [48], [49], [50]. Позднее, такие группы были названы вначале группами Черникова, затем черниковскими [26]. Ещё в 1940 г. А.И. Мальцев [24] доказал, что р-группа тогда и только тогда изоморфна некоторой группе матриц над некоторым полем характерис-

групп
(Ri, Cl) < (i?2, Ci, C2) < ... ,
объёдинение которой является бесконечной локально конечной группой Т бесконечного ранга. Однако, по теореме Блэкберна Т должна быть черниковской и, следовательно, ее ранг конечен. Противоречие. Лемма доказана.
Лемма 2.2.14. Каждая конечная а-инвариантная подгруппа из подгруппы Р является абелевой группой.
Доказательство. Предположим, что R - конечная неабелева а-инвариантная подгруппа из Р, тогда R ^ Сд(Я). Ввиду следствия 2.1 нормализатор Nb(R) является нечерниковской подгруппой. Так как R — а-инвариантная подгруппа, то Cb{R) также а-инвариантна и, как легко видеть, является нечерниковской подгруппой. Присоединим к подгруппе R ■ Cb{R) подгруппу (а) и введем обозначения: R П Cß(R) = Ri, Cb{R) = Bi, R ■ Bi X (a) = T. Очевидно, что T/Ri = (R/R x B/R) X (aRi). Выберем неединичный элемент zR из R/R. Таким образом: B/Ri x (zR) - подгруппа. Отсюда легко показать существование подгруппы [B/Ri X (aR)) x (zR), что противоречит лемме 2.2.13. Лемма доказана.
Легко видеть, что из леммы 2.2.14 вытекает
Следствие 2.2. Любая локально конечная а-инвариантная подгруппа из Р абелева.
2.3. Доказательство теорем 1 и
Теорему 1 будем доказывать от противного, предполагая что группа G есть контрпример. Тогда для G верны все леммы и следствия пре-