Атомы решетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп

• Автор: Перепелкина, Ольга Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 93 с.

§ 1. Актуальность темы исследований
§ 2. Основные определения и обозначения
2.1. Основные определения и обозначения
2.2. Фильтры и ультрафильтры
2.3. Ультрапроизведения
2.4. Аксиоматизируемые классы
2.5. Ультразамкнутость и наследственность
§ 3. Краткое содержание работы
Глава I О решетке универсально аксиоматизируемых
классов полугрупп
§ 1. Основные определения. Структурная теорема
1.1. Основные определения
1.2. Операторы К и Тку
1.3. Теорема об универсальном замыкании класса
систем
1.4. Дистрибутивность фильтрованного произведения относительно декартова произведения

§ 2. А томьт решетки V-классов полугрупп
2.1. Описание атомов решетки £уП
2.2. Покрывающие атомов. Постановка задачи
§ 3. Атомы подрешетки £у
3.1. Описание атомов подрешетки £у
Глава II Коммутативные покрытия подрешетки
§ 1 .Атомы Н/уд и
1.1. Атом Е/;уд
1.2 Атом Е/о
§ 2. Атомы 17а,1 и из>2
2.1. Атом {75д
2.2. Атом П5,2
§ 3. Атом ир
3.1. Универсальная эквивалентность и (./V х (7Р)
3.2. Атомы ир , где р — простое
§ 4. Основная теорема
Глава III Некоммутативные атомы решетки
§ 1. Свободная полугруппа ранга два
1.1.Свободные полугруппы
1.2. Свойства свободных полугрупп
1.3. Атом, порожденный свободной полугруппой
ранга два
§ 2.Атомы Е/г,Е/г
2.1. и и и
Литература

Введение. § 1. Актуальность темы иследований.
§ 1. Актуальность темы исследований.
Изучение решеток, которые образуют относительно включения те или иные классы алгебр данной сигнатуры, является важным направлением алгебраических исследований [30], [52], [4].
В качестве объектов, составляющих элементы решеток, выбирались классы алгебраических систем, определяемые теми или иными формулами языка первой ступени: многообразия, О -многообразия и так далее. В случае многообразий сами эти объекты, то есть многообразия, а также и образуемые ими решетки давно стали классическими объектами исследований [3], [49], [4].
Решетки универсальных (то есть аксиоматизируемых универсальными формулами соответствующего языка первой ступени) классов алгебраических систем, как самостоятельный объект изучения, впервые отмечался, по-видимому, А. И. Мальцевым [30] в докладе ”0 некоторых пограничных вопросах алгебры и логики” на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 году.
Пусть Г — класс формул языка первой ступени сигнатуры 12 какого-нибудь специального вида, а Я — какой-нибудь класс алгеб-

Глава II § 3. Атом 11р
единица группы Ор . Пусть 3 некоторая неоднопорожденная подполугруппа N х Ор . Тогда 5 также состоит из пар вида (п, к) , где п 6 И, к £ Ор . Рассмотрим возможные случаи:
1) Все вторые компоненты в этих парах совпадают с единичным элементом (Зр — е. Очевидно, что в этом случае 5 вкладывается в N . Первое утверждение леммы выполнено.
2) Хотя бы в одной паре вторая компонента отлична от единицы группы Ор . Понятно, что в этом случае 5 будет содержать пары, вторая компонента которых пробегает все множество . Возможны варианты:
a) Пусть среди этих пар найдутся две такие: (п, е), (п, к) , где е — единица группы Ор . Легко понять, что из этих двух пар, соответствующими перемножениями исходных пар, мы можем получить пары с одинаковой первой компонентой — т и второй пробегающей всю группу Ор . Отобразим на эти пары (т,к),к £ , соответствующим образом, элементы из порождающего множества N х . Нетрудно показать, что это отображение является изоморфным вложением N х в 5 . Второе условие леммы выполнено.
b) Пусть среди элементов 5 нет пар с одинаковой первой компонентой. Выберем из 5 совокупность пар, вторые компоненты которых составляют группу Ор : (щ, е), (пг,#1) (пр,др~г) . Находим НОК(п1,П2, ...,пр) = I и рассмотрим элементы п'^п'2, ...,п'р , являющиеся соответствующими сомножителями до I К 711,712, .:,Пр . Построим из пар (п1,е), (п2,д1) (тгу,<7р-1) пары с одинаковой первой компонентой, равной I. Возможны случаи:
— пусть все п[ = 0(то(1р) . Тогда все, построенные пары будут иметь вид (1,е), где е — единица группы Ор . Следовательно в 3 невозможно получить пары, как в случае а). Тогда 5 можно вло-