Коммутаторные свойства линейных групп

• Автор: Курсов, Валерий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 81 c. : ил

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I. КОММУТАТОРНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ

ГРУППЫ НАД ТЕЛОМ

§ I.I. Случай тела вещественных кватернионов

§ 1.2. Пример тела со специальным свойством

множества коммутаторов

§ 1.3. Коммутаторная длина полной линейной группы над телом

Глава II. КОММУТАТОРНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП ШЕВАЛЛЕ НДЦ

ПОЛЕМ

§ 2.1. Коммутаторные свойства группы Н

§ 2.2. О группах Вейля классических типов

§ 2.3. Доказательство основной теоремы о коммутаторной длине групп Шевалле над беско -нечным полем
ЛИТЕРАТУРА

Основным содержанием настоящей работы является исследование коммутаторных свойств некоторых классов линейных групп.
Пусть (3 - группа с коммутантом 6 . Хорошо известно,
ято в общем случае не всякий элемент из О является коммутатором в (3 . Примеры такого сорта существуют как для конечных
групп, так и для бесконечных. Поэтому естественным образом возникает задача об исследовании коммутаторной длины для <9 , т.е. требуется определять минимальное число коммутаторов, необходи -мых для представления произвольного элемента из 9 в виде произведения коммутаторов из (3 . Если такое число существует, то,
следуя работе [25] , мы будем обозначать его Я(3), Если группа совершенна, т.е.<л = (9 , то мы просто говорим о коммутаторной длине <9
Не вызывает сомнении то обстоятельство, что для цроизволь -ной группы С вопрос о существовании и точном вычислении Я ( 6) является малореальной задачей. Неудивительно поэтому, что результаты в этом направлении относятся в первую очередь к определен -ным классам групп.
Прежде всего отметим, что наибольшее количество работ по коммутаторной длине имеет отношение либо к случаю конечных групп, либо к тем группам, коммутант которых обладает специфи -ческим свойствам: конечен, цикличен и т.д. Обзоры результа -тов, полученных в этом направлении, содержатся в [23] , [25], [28]. Несмотря на то, что конечное число возможностей упрощает до некоторой степени задачу вычисления коммутаторной длины, тем не менее в каждом конкретном случае приходится сталкиваться с немалыми трудностями. Для конечных групп исследование коммута

торной длины облегчается в определенном смысле тем обстоятельством, что для них существуют критерии представимости произ -вольного элемента группы в виде произведения любого заданного числа коммутаторов. Эти критерии формулируются в терминах теории характеров (см. [21], [22], [26]).
При переходе к бесконечным группам совершенно ясно, что в общем случае подобных критериев представимости быть не гложет и поневоле приходится конкретизировать исследование коммутатор -ной длины, рассматривая определенные классы групп. Одним из важнейших классов является класс линейных групп. Интерес к указанной тематике здесь связан с более глубоким изучением алге -браических групп с абстрактно-групповой точки зрения. Исследование коммутаторной длины линейных групп начато еще в конце НХ века. Вскоре были получены первые результаты о простых линейных группах над конечными полями. Затем в ряде случаев удалось установить коммутаторную длину для некоторых симплектиче-ских, ортогональных и проективных групп (см. [27], [32] ,[37]). Гото в работе [24] показал, что в связной полупростой компактной группе Ли всякий элемент есть коммутатор. Далее, если (3 -связная полуцростая комплексная группа Ли, то (см.
[31]). Томпсон в работе [36] вычисляет точное значение комму -таторной длины полной и специальной линейных групп над произ -вольным полем. Наконец, наиболее общим результатом в этом ряду, по-видимому, следует признать утверждение, доказанное Ри: если О - связная полуцростая алгебраическая группа, определенная над алгебраически замкнутым полем, то Я(СЭ)~1 (см. [33] ). При переходе к группам над незамкнутыми полями указанное выше равенство перестает быть справедливым и исследование коммута -торной длины осложныется тем обстоятельством, что оно в значи-

то = Ц-а * it - ^ w'H_L. * • іvi± и теорема справедлива
же , но у) =u.W^wil_t...w£i_wKwK„1.-.w£ сопряжен с
элементом v/i = «a.^(v/VL_;1... W£ ) » где w.^ 6Ч< и теорема справедлива в этом случае. Если 1 (Л) > 4 , то
W=u-a, •Ui. Ujt,
где Ui*^. ^ 6VX j Знащот

элемент W =(Ui ) W (uL Ux) -UtUxU WK_t... wK WK-1_ имеет
вид (14).
Далее, пусть а. имеет вид 13 С і і) . Если^л)-#, то
W=u.wvvv/K-1 •-•'V'41Wvu и теорема справедлива. Если же
то имеем
V- м.^4 • ■ -V<«v.... >v»w •< нг.± =
и W сопряжен с элементом V/1' Ul w
= Иъ Ч WkWk-x-HlK... .. Иц. тлеет вид (14).
Пусть теперь GL имеет ВИД (13) с І і С) t то есть
w-u-a^av/^v^.^—^ ^. Тогда сопряжением при помощи элемента WK^1 eV^ мы сводит.-: этот случай
к только что разобранному 13 (it) . Таким образом, мы показали, что при доказательстве теоремы можно ограничиться рассмотрением элементов вида (14). Теперь мы еще больше упростил вид (14 ) . Именно, пусть W- и а = и, Wb, WK-x .,. Wh-x ■ 'Wlz.t w
4-2 KK-t 4. -2. к -t К 'H- >
где WK.3 -.. €> Wx , значит W сопряжен эле
ментом из vv с таким элементом