Фробениусовы эндоморфизмы пространств матриц

• Автор: Гутерман, Александр Эмилевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 321 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Отображения, сохраняющие нули матричных многочленов над полями

1.1 Введение

1.2 Многочлены с ненулевой суммой коэффициентов

1.2.1 Доказательство теоремы

1.2.2 Доказательство следствий

1.3 Многочлены с нулевой суммой коэффициентов

1.3.1 Доказательство теоремы

1.3.2 Доказательство следствий

1.4 Завершающие замечания и примеры

2 Монотонные отображения матриц
2.1 Введение
2.1.1 Частичные порядки, не являющиеся регулярными
2.2 Линейные монотонные отображения
2.2.1 Редукция к фробениусовым эндоморфизмам для матриц неполного ранга
2.2.2 Характеризация линейных фробениусовых эндоморфизмов пространства Мтп(¥), монотонных относительно ряда
регулярных порядков
Ц СП
2.3 и -порядки
2.3.1 Отображения, сохраняющие одновременную
диагонализуемость
2.3.2 Характеризация линейных монотонных отображений,
I СП „г-
сохраняющих <- и <-порядки
2.4 Аддитивные монотонные отображения
2.4.1 Монотонность относительно регулярных порядков
2.4.2 Приложения: характеризация аддитивных монотонных
фробениусовых эндоморфизмов
2.4.2.1 Порядок Дрейзина
2.4.2.2 Левый и правый -порядки

2.4.2.3 Бриллиантовый порядок
2.4.2.4 Сингулярные порядки
2.4.2.5 /-порядки
3 Ранговые свойства матриц и их фробениусовы эндоморфизмы
3.1 Сохранение границ в неравенствах для ранга произведения матриц
3.1.1 Фробениусовы эндоморфизмы для 2з
3.1.2 Фробениусовы эндоморфизмы для Q4
3.1.3 Фробениусовы эндоморфизмы для Q$
3.2 Сохранение перестановочности ранга
3.2.1 Определения и обозначения
3.2.2 Биективные отображения, сохраняющие перестановочность
ранга
3.2.3 Вырожденный случай
3.2.4 Примеры
4 Фробениусовы эндоморфизмы матриц над полукольцами
4.1 Введение в линейную алгебру над полукольцами
4.1.1 Исторический обзор
4.1.2 Матрицы и определители
4.1.3 Вырожденность и определитель
4.1.4 Полумодули. Базис и размерность
4.1.5 Функции ранга
4.1.6 Связь между различными ранговыми функциями
4.1.7 Арифметические свойства ранговых функций
4.2 Общие результаты о линейных отображениях матриц над
антинегативными полукольцами
4.3 Теоремы Фробениуса и Дьедонне для матриц над полукольцами
4.3.1 .S-вырожденность
4.3.2 Би-определители
4.3.3 Д-вырожденность
4.4 Линейные отображения, сохраняющие случаи равенства в ранговых неравенствах
4.4.1 Фробениусовы эндоморфизмы для Т
4.4.2 Фробениусовы эндоморфизмы для .Тдв
4.4.3 Фробениусовы эндоморфизмы для Тщ
4.4.4 Фробениусовы эндоморфизмы для
4.4.5 Фробениусовы эндоморфизмы для Тщ
4.4.6 Фробениусовы эндоморфизмы для FiB
4.4.7 Фробениусовы эндоморфизмы для Тщ
4.4.8 Фробениусовы эндоморфизмы для Т$

4.5 Отображения, сохраняющие нули многочленов над полукольцами
4.5.1 Введение
4.5.2 Вспомогательные леммы
4.5.3 Фробениусовы эндоморфизмы для В(і)> к >2
4.5.4 Фробениусовы эндоморфизмы для V(Pm) для т >
4.5.5 Фробениусовы эндоморфизмы для V(Pm!i
5 Фробениусовы эндоморфизмы и комбинаторные свойства матриц
5.1 Характеризация операторов, сохраняющих примитивность наборов матриц
5.1.1 Введение
5.1.2 Предварительные сведения
5.1.3 Матрицы над бинарным булевым полукольцом
5.1.3.1 Случай к
5.1.3.2 Случай к >
5.1.4 Матрицы над антинегативными полукольцами без делителей нуля
5.2 Фробениусовы эндоморфизмы для регулярных турнирных матриц и граничного ранга
5.2.1 Введение
5.2.2 Фробениусовы эндоморфизмы для матриц граничного ранга
с нулевой диагональю
5.2.3 Фробениусовы эндоморфизмы для регулярных турнирных матриц
5.3 Идемпотентные матрицы и мажорирование
5.3.1 Введение
5.3.2 Характеризация идемпотентных булевых матриц
5.3.3 Мажорирование идемиотентными матрицами
6 Фробениусовы эндоморфизмы над некоммутативными кольцами
6.1 Введение
6.2 Введение в линейную алгебру над некоммутативными кольцами
6.2.1 Некоммутативные определители
6.2.2 Линейная алгебра над некоммутативными локальными кольцами
6.2.3 Определитель над некоммутативным локальным кольцом
6.2.4 Определитель Аджамагбо
6.3 Полулинейные отображения матриц над локальными кольцами, сохраняющие вырожденность
6.3.1 Сохранение вырожденности над локальными кольцами
6.3.2 Сохранение вырожденности над телами

в статье [169) Ли и Пирса, исследовалась возможность снятия ограничения обратимости в теореме Ховарда и были доказаны некоторые сопутствующие результаты.
Параллельно, начиная с 1976 года, см. [174], исследовались вопросы характеризации линейных преобразований, сохраняющих нули полилинейных многочленов от нескольких некоммутирующих переменных, и автоматической невырожденности таких отображений. В частности, Уоткинс, [233], получил характеризацию биективных линейных преобразований, сохраняющих коммутативность, т.е. нули многочлена р(т, у) = ху — ух, в работе [241, 242] Уонг охарактеризовал операторы, сохраняющие нулевые произведения, т.е. нули многочлена р(х,у) = ху. На протяжении последних лет наблюдался большой интерес к этой проблеме, см. работы [44, 58, 68, 80, 82, 113, 201, 224, 245] и их библиографию. Кроме того, интенсивно исследовался целый ряд близких задач. Например, аддитивные преобразования Т, удовлетворяющие более жесткому ограничению р(Г(.Т1)
Несмотря на постоянный интерес к вопросам характеризации линейных преобразований, сохраняющих нули матричных многочленов, общие результаты в случае многих переменных, аналогичные теореме Ховарда о линейных отображениях, сохраняющих нули многочленов от одной переменной, отсутствовали. Все существовавшие результаты были доказаны для конкретных многочленов.
В настоящей главе проблема Капланского-Уоткинса решена для произвольных однородных полилинейных многочленов с ненулевой суммой коэффициентов. Для решения этой проблемы автором предложен новый метод — метод элементарных операторов, позволяющий ответить на вопрос в более общей постановке, а именно, отказаться как от требования линейности, так и от требования биективности рассматриваемых отображений. Для этого изучение, общего нелинейного, отображения, сохраняющего нули многочлена р{х
зависящих от матрицы А и от местоположения матрицы X.