Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и f.i. -корректность

• Автор: Гриншпон, Самуил Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 140 c. : ил

первую очередь с тем, что сами группы без кручения ещё недостаточно изучены.

В настоящей работе предложен подход к изучению вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения и связей их строения со строением самой группы. Основная идея этого подхода, изложенного в главе П, состоит в следующем. Задаётся некоторое свойство вполне характеристической подгруппы абелевой группы без кручения, записываемое в терминах характеристик элементов группы, а затем в различных классах абелевых групп без кручения выделяются и описываются группы, в которых все вполне характеристические подгруппы обладают заданным свойством. Выбор свойства, которому должны удовлетворять вполне характеристические подгруппы осуществляется, конечно, так, чтобы группы, определяемые таким свойством, составляли достаточно широкий класс групп. Таким образом, приходим к понятию X-группы, т.е. такой абелевой группы С без кручения, в которой каждая вполне характеристическая подгруппа имеет вид О- 1 V] , где ) - характеристика
элемента , т/= [ ггггХ.. %? г/г .. ) - некоторая последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов оо . Отметим, что во всякой группе без кручения А её подгруппы вида А [VI вполне характеристичны и, как правило, любая группа без кручения А достаточно "насыщена" вполне характеристическими подгруппами такого вида.
Выделение /С -групп в ряде классов абелевых групп без кручения фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах.
Всякая X -группа является транзитивной абелевой группой без кручения, то есть группой, в которой для любых двух элементов ж

и таких, что

существует эндоморфизм и> со

свойством у(ус)= у . Транзитивными группами являются, в частности, алгебраически компактные, квазисервантно инъективные, сильно однородные и другие группы без кручения. Заметим, что изучению как самих транзитивных групп, так и других групп "богатых" эндоморфизмами уделяется в последнее время большое внимание (см., например, [5] , [б] , [18] , [37] ).
Отметим, что указанный подход к изучению вполне характеристических подгрупп даёт возможность установить различные их инварианты, получить информацию об их решетке и решить ряд задач, связанных с вполне характеристичностью.
Полученные в работе результаты о X- - группах могут быть применены затем к изучению вполне характеристических подгрупп различных теоретико-групповых конструкций, полученных из исследованных групп. Такие конструкции, в частности, прямые суммы групп, уже не являются, вообще говоря, ни X - группами, ни даже транзитивными группами. Однако в целом ряде случаев возможно получить исчерпывающую информацию о вполне характеристических подгруппах таких групп (см. § б).
Заметим также, что многие результаты о транзитивных абелевых группах без кручения и их вполне характеристических подгруппах, полученные в работе, могут быть перенесены на К - прямые ([16]:, с. 54) суммы групп без кручения [54]
При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп и связей их строения со строением самой группы важную роль играет понятие почти изоморфизма по вполне характеристическим подгруппам, представляющее и самостоятельный интерес. Две группы А и В , каждая из которых изоморфна подгруппе другой группы, называются почти изоморфными [29] . Две группы А и В называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством,
- 50 ~
2. Все инварианты Ульма-Капланского ^ и) 0,4,1 ... ) конечны, но не все они равны между собой. Так как последовательность -^оСо), ja.fi),.. - сильно зависима, то имеем для всех Кб £о
(3.5)
(полагаем 1-± - -4 )л Заметим, что т > О , так как в противном случае существовало бы такое f тп ) , что для всех
)= О . Это противоречит предположению о неограниченности редуцированной части группы С- . Рассмотрим группу /У со следующими инвариантами Ульма-Капланского: Со) =
= {.£ + £) № всех 46 • Пусть
пх = у, Пг - Z , . -• , ~ /тг-4, гг ^ = т- 4 (3.6)
Пт+1 = /77, Пт+я=/П+/ ПтФ;о=/7г+10-4 и
где 4 - 4 а К = О, 4, 1, . . . .
Тогда если I- - большая подгруппа группы Н , которая задается

последовательностью чисел (3,6), ТО Сг = и , в свою очередь /-/ £ рСт , Итак, Сг^ Н , но Сг ф Н
3. Среди инвариантов Ульма-Капланского ^ (с) [с 6 т40) группы & есть бесконечные (в частности, все инварианты Ульма-Капланского ^&{с) могут быть бесконечными, но тогда среди них существует хотя бы одна пара неравных между собой). Условие сильной зависимости последовательности /V-О 4, я,... )
означает выполнение равенства (3.5). Если т 7- О , то поступаем как в предыдущем случае.
Пусть т = о . Существует такое ^ , что
к***,(з.7)
Пусть для некоторого Ь ^ ± +4).