Тождества и квазитождества в решетках многообразий полугрупп и связанные с ними конгруэнции

• Автор: Верников, Борис Муневич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 271 с. : ил.

ВЛ. Обсуждение проблематики теории многообразий (4). В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации (7). В.З. Цели работы (16). В.4. Основные проблемы (17). В.5. Основные результаты (21). В.6. Основные методы (25). В.7. Структура диссертации (25). В.8. Апробация и публикации (26).

Глава 0. Базисные понятия и факты

§0. Предварительные сведения

0.0. Основные литературные источники (29). 0.1. Полугруппы (29). 0.2. Полугрупповые слова и тождества (30). 0.3. Многообразия полугрупп (32). 0.4. Решетки (36). 0.5. Решетки подгрупп симметрических групп (38). 0.6. Следствия некоторых тождеств (40). 0.7. Решетки многообразий полугрупп (43). 0.8. Многообразия и квазимногообразия решеток (52). 0.9. Решетки эквивалентностей (54). 0.10. Мультипликативные свойства бинарных отношений (55). 0.11. G-множества (59).

§1. Строение решеток нильмногообразий

и надкоммутативных многообразий полугрупп

1.1. Решетки нильмногообразий (62). 1.2. Мультипликативные аналоги результатов о решетках нильмногообразий (66). 1.3. Решетки надкоммутативных многообразий (75). 1.4. Мультипликативные аналоги результатов о решетках надкоммутативных многообразий (78).

§2. Конгруэнции на G-множествах

2.1. Подрешетка жадных конгруэнций (81). 2.2. Решеточные ограничения (84). 2.3. Мультипликативные ограничения (88).

2.4. Обсуждение результатов данного параграфа (89).

Комментарии
Глава 1. Тождества, квазитождества и полумодулярность
в решетках многообразий полугрупп
§3. Полумодулярность и дезарговость: запрещенные
подмногообразия

3.0. Формулировки основных результатов (93). 3.1. Общая схема доказательства для ненильпотентных многообразий (96).
3.2. Ненильпотентные многообразия индекса 2 (97). 3.3. Не-нилыютентные многообразия индекса 3 (100). 3.4. Ненильпотентные многообразия индекса > 3 (101). 3.5. Нильпотентные многообразия (103).
§4. Полумодулярность и дезарговость: завершение
описания
4.1. Редукция к нильмногообразиям (105). 4.2. Нильмного-образия: предварительные замечания (108). 4.3. Система тождеств (n5m) (112). 4.4. Система тождеств (n6m) (114). 4.5. Система тождеств (n7m) (115). 4.6. Системы тождеств (n8m) и (п9т) (115). 4.7. Системы тождеств (п10т) и (nllra) (117).
4.8. Система тождеств (nl2m) (118). 4.9. Системы тождеств (nl3m)-(nl5m) (119). 4.10. Системы тождеств (п1г) и (п21) (120). 4.11. Системы тождеств (nl6m)-(nl9m) (121). 4.12. Системы тождеств (п20т)-(п23’п) (121). 4.13. Системы тождеств (n3^)-(nlP) (122). 4.14. Системы тождеств (n24m)-(n41m) (124). 4.15. Системы тождеств (n42m)-(n47m) (125). 4.16. Системы тождеств (n5m)-(n47m): сводка свойств, используемых в дальнейшем (127). 4.17. Эквивалентность модулярности и принадлежности М4 3 для комбинаторных многообразий (128). 4.18. Следствия (131).
§5. Квазитождества, влекущие модулярность
5.0. Предварительные замечания (135). 5.1. Квазитождества, выполненные в и в Мз,з, но не выполненные в М43 (136).
5.2. Квазитождества, выполненные в М4, но не выполненные в Л73|3 (141). 5.3. Квазитождества, выполненные в Мз,з, но не выполненные в (146). 5.4. Квазитождества, выполненные в М3, но не выполненные ни в Mt, ни в М3,з (149).
§6. Квазитождества, не выполненные в Мз
6.1. Нильмногообразия: эквивалентность дистрибутивности и принадлежности Мз (151). 6.2. Комбинаторные многообразия: дистрибутивность (157).
Комментарии
Глава 2. Многообразия полугрупп с мультипликативными
ограничениями на вполне инвариантные конгруэнции их свободных объектов

§7. 1.5-перестановочность

7.1. /г-1.5-перестановочные многообразия (163). 7.2. Почти fi1.5-перестановочные многообразия (168). 7.3. Наследственно почти /г-1.5-перестановочные многообразия (178). 7.4. Следствия (182).
§8. Перестановочность

8.1. /«-перестановочные многообразия (183). 8.2. Почти /«-перестановочные многообразия (184). 8.3. Наследственно почти /«-перестановочные многообразия (188). 8.4. Следствия (189).
§9. 2.5-перестановочность
9.1. Основной результат (190). 9.2. Следствия (196).
§10. Слабая перестановочность
10.1. Редукция к нильмногообразиям (197). 10.2. Нильмного-образия: доказательство необходимости (200). 10.3, Нильмно-гообразия: доказательство достаточности (213). 10.4. Следствия (217).
Комментарии
Глава 3. Надкоммутативные многообразия
§11. Квазитождества, не выполненные в М$,
1.5-перестановочность и перестановочность
§12. Квазитождества, влекущие модулярность,
и 2.5-перестановочность
12.0. Предварительные замечания (227). 12.1. Квазитождества, выполненные в Мз, но не выполненные в и 2.5-перестановочность (228). 12.2. Квазитождества, выполненные в Mi, но не выполненные в з (230).
§13. Модулярность, полумодулярность, дезарговость
и слабая перестановочность
13.1. Модулярность, полумодулярность вверх, дезарговость и слабая перестановочность (237). 13.2. Полумодулярность вниз (242). 13.3. Следствия (244).
Комментарии
Заключение
3.1. Возможные направления дальнейших исследований (247).
3.2. Специальные элементы решеток многообразий полугрупп (248). 3.3. Почти слабо /«-перестановочные многообразия полугрупп индекса в, 2 (253). 3.4. Открытые вопросы (253).
Литература
Работы автора по теме диссертации

§0. Предварительные сведения

Р4І7г] Р4Н, х2у = х2у, ху2 = ух2, хухг = ухгу, (33т)
р4[ 7Г] Р4И, х2у = х3у, ху2 = ух2, хухг = гхуг, (34т)
р4[тг] Р4ІО-], х2у = Xіу, ху2 = ух2, хухг = угух, (35т)
р4[тг] рі{<Л, х2у = х3у, ху2 = ух2, хугх = ухгу, (36т)
р4( ж] Р4И> X 2у = у2х, ху2 = ху3, хухг = хугх, (37т)
р4[тг] Р4М, х2у = у2х, ху2 = ху3, хухг = ухгу, (38т)
р4[ тг] Р4И, х2у = у2х, ху2 = ху3, хухг = гхуг, (39т)
р4[ ж] Р4[<т] х2у = у2х, ху2 = ху3, хухг = угух, (40т)
р4[ тг] Р4Н, X 2 у = у2х, ху2 = ху3, хугх = ухгу, (41т)
р4[ тг] Р4И х2у = у2х, ху2 = {ху)2, (42т)
р4[тг] Рі[а} х2у = (ху)2, ху2 = ух2, (43т)
р4[л] Р4М Х2У = у2х, ху2 = (ху)2, хухг = ухгх, (44т)
р4[ж) рА? х2у = (ху)2, ху2 = ух2, хухг = ухгх, (45т)
р4[тг] Рі№] х2у = у2х, ху2 = (ху)2, хугх = ухгу, (46т)
р4[тг] Р4И х2у = (ху)2, ху2 = ух2, хугх = ухгу, (47т)

• в системах тождеств (1т)-(4т) п — натуральное число;
• в системах тождеств (4т)-(19т) ж — одна из перестановок (123), (124), (134), (234), (12)(34), (13)(24) и (14)(23);
• в системе тождеств (20т) ж — одна из перестановок (123), (124), (134), (234), (12)(34) и (13)(24);
• в системах тождеств (21т)-(23т), (32т)-(41т), (46т) и (47т) ж = (14) (23);
• в системах тождеств (24т) и (25т) ж — одна из перестановок (123), (124), (134), (234) и (12)(34);
• в системах тождеств (26т)-(31т), (44т) и (45т) ж = (13)(24);
• в системах тождеств (42т) и (43т) ж = (12)(34);
• в системах тождеств (4т)-(47т) а — тривиальная перестановка17^.
Предложение 0.2 ( [30], теорема 2). Многообразие полугрупп V имеет модулярную решетку подмногообразий тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
1) V — многообразие полугрупп с вполне регулярным квадратом-,
2) V = V V В, где V — одно из многообразий V и О., а £ — ортодоксальное многообразие такое, что всякая связка из £ удовлетворяет тождеству хуг = хухг;
2') V = V V £', где V — одно из многообразий *Р и І2, а £' — ортодоксальное многообразие такое, что всякая связка из £' удовлетворяет тождеству хуг = хгуг
171 Разумеется, в рамках данного предложения тождество Р4 [а] можно исключить из систем тождеств (4т)-(47т); оно включено в эти системы только для удобства формулирования некоторых утверждений в §5.