Об отделимости подгрупп в некоторых классах конечных групп

• Автор: Соколов, Евгений Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 94 с.

О понятии отделимости подгрупп
Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов
Часть 1. Отделимость подгрупп разрешимых групп в некоторых классах конечных групп
§ 1.1. Классы ограниченных разрешимых и ограниченных нильпотентных групп
§ 1.2. Уп-отделимость разрешимых подгрупп ^-аппроксимируемых
групп
§1.3. Уя-отделимость и я'-изолированность
§1.4. Уя-отделимость подгрупп в нильпотентных группах
§ 1.5. Уя-отделимость нильпотентных подгрупп Л/о-аппроксимируемых групп
Часть 2. Отделимость циклических подгрупп обобщенных свободных произведений двух групп
§ 2.1. Конструкция свободного произведения групп с объединенной
подгруппой
§2.2. Описание семейства Дя((7)
§2.3. Достаточные условия максимальности семейства Дя((7)
§ 2.4. Уп-отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных разрешимых групп
§ 2.5. Уя-отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных нильпотентных групп с циклическим объединением
§ 2.6. Уя-отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных нильпотентных групп с нормальным объединением
Дополнение. Отделимость подгрупп некоторых конечно определенных групп
§ Д.1. Описание Т^-отделимых подгрупп группы (7*
§ Д.2. .^„-отделимость циклических подгрупп обобщенных свободных произведений групп Ск
Указатель обозначений
Список цитированной литературы
Публикации автора по теме диссертации
О понятии отделимости подгрупп
Согласно общему определению [46] подгруппа Н группы G называется отделимой в классе групп /С, или, короче, tC-отделимой, если для всякого элемента g е GH существует гомоморфизм у группы G на некоторую /С-группу такой, что gy еЯу. Отметим, что группа G аппроксимируема в классе К. тогда и только тогда, когда ее единичная подгруппа является /С-отделимой. Таким образом, понятие отделимости можно рассматривать как обобщение понятия аппроксимируемости.
Если класс К. гомоморфно замкнут, то имеет место более сильное утверждение: ^С-отделимость нормальной подгруппы N группы G оказывается равносильной /С-аппроксимируемости фактор-группы GIN. Это замечание позволяет, в частности, свести описание /С-отделимых подгрупп абелевой группы к поиску критерия /С-аппроксимируемости. Однако в общем случае подобное сведение не может быть выполнено и, таким образом, изучение свойства отделимости подгрупп представляет самостоятельный интерес.
Понятие отделимости в произвольном классе групп впервые было введено А. И. Мальцевым. В работе [46] он указал на особую роль, которую играет отделимость в классе Т всех конечных групп, называемая по аналогии с аппроксимируемостью финитной. Им было установлено, что финитная отделимость данной подгруппы Н конечно определенной финитно аппроксимируемой группы G гарантирует существование алгоритма, распознающего принадлежность произвольного элемента из G подгруппе Н. Это означает, в частности, что любая конечно определенная финитно аппроксимируемая группа имеет разрешимую проблему тождества. Если же все подгруппы такой группы являются финитно отделимыми, то для нее оказывается разрешимой и проблема вхождения.
В настоящей работе рассматривается более тонкое свойство отделимости В классе Тц всех конечных я-групп, где я — некоторое непустое множество простых чисел.
Очевидно, что если подгруппа Н является ^„-отделимой в группе G, то все корни я'-степеней, извлекающиеся в G из ее элементов, должны снова принадлежать Н (здесь и далее я’ обозначает множество всех простых чисел, не
Часть 2, § 2

групп группы С, сопряженных с подгруппами, порождаемыми элементами вида ак. Но элементы а и а2 сопряжены в G, поэтому циклическая подгруппа группы G не является ./"п-отделимой тогда и только тогда, когда она сопряжена
2 к
с некоторой подгруппой, порожденной элементом вида а . ■
Лемма 2. Если подгруппа М из семейства Г2П(Л) (семейства Пп(В)) принадлежит семейству ©п(Л) (соответственно, семейству ©п(-#)), то порядок элемента а {соответственно, элемента с) по модулю подгруппы М является нечетным числом.
Доказательство. Пусть подгруппы Me С2П(А) и Ne ПП(В) (Я, К, ф)-сов-местимы. Положим HnM- U и KnN= V, так что СЛр= V.
Очевидно, что порядки элементов а и а по модулю подгруппы Мдолжны совпадать, и так как фактор-группа Я/С/ естественным образом вложима в фактор-группу AIM, порядки этих элементов по модулю подгруппы U совпадают.
Переходя к образам относительно (р, получаем совпадение порядков элементов с и Ci группы К по модулю подгруппы V, а потому — и совпадение порядков этих элементов по модулю подгруппы N. Отсюда следует, что по модулю N элементы с и с2 имеют один и тот же порядок, и, стало бьггь, порядок элемента с по модулю подгруппы Я является нечетным числом.
Поскольку при изоморфизме подгруппы ЯМ/М группы AIM на подгруппу KNIN группы BIN, индуцированном изоморфизмом ср, элементу аМ соответствует элемент cN, порядок элемента а по модулю Мтакже является нечетным числом. ■
Лемма 3. Если циклическая подгруппа группы G не является Т^-отдели-мой, то она сопряжена с некоторой подгруппой из семейства Лп(Л)иЛп(.8).
Доказательство. В силу леммы 1, если циклическая подгруппа группы G не является ^п-отделимой, то она сопряжена с некоторой подгруппой F, порожденной элементом вида а2*. Покажем, что Fi ЛП(Л).
В самом деле, пусть М— произвольная подгруппа из семейства ©П(Л). В силу леммы 2 порядок т элемента а по модулю подгруппы М является нечетным числом, и потому для некоторого целого числа / выполнено сравнение 2Ы1 (mod т). Следовательно, а= Но подгруппа F=(a2k) не содержит элемента о*. Таким образом, она не является отделимой семейством ©ц(Л). ■
Итак, произвольная циклическая подгруппа группы G, не сопряженная ни с какой подгруппой из семейства An(H)uAn(5), является ./тротделимой, т. е. для группы G имеет место утверждение теоремы 2.2.2. В то же время условие (2.2.4) этой теоремы не выполнено, поскольку элемент с в силу леммы 2 принадлежит пересечению
П кн.
ЛГе©п(В)
но не принадлежит К. ■