Группы автоморфизмов сетевых подгрупп линейных групп

• Автор: Пащевский, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 100 c. : ил

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ

§ I. Сети и сетевые подгруппы

§ 2. Вспомогательные результаты

§ 3. Симметрические группы

Глава II. АВТОМОРФИЗМЫ СЕТЕВЫХ ГРУШ НАД ПОЛЕМ

§4. Автоморфная допустимость Е (бг ) и &• (© в А

А А

§ 5. Насыценные сети

§ 6. Экстремальные инволюции

§ 7, Описание автоморфизмов
Глава III. ПОЛУЛОКАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ
§ 8. Полулокальные кольца
§ 9. Центральные автоморфизмы
Глава IV. ИЗОМОРФИЗМЫ СЕТЕВЫХ ГРУШ НАД КОММУТАТИВНЫМ
КОЛЬЦОМ
§ 10. Диагональные инволюции
§ II. Изоморфизмы сетевых групп
ЛИТЕРАТУРА

Вопросы, связанные с описанием автоморфизмов матричных групп, традиционно занимают важное место в теории линейных групп. Чаще всего ограничиваются изучением автоморфизмов некоторых классов подгрупп, выделяемых в полной линейной группе условиями различного типа. Отметим среди таких классов алгебраические группы и группы Шевалле, а также подгруппы, порожденные элементами специального вида, например: элементарными трансвекциями.
Настоящая работа посвящена изучению автоморфизмов сетевых подгрупп полной линейной группы. Понятие сетевой группы ввел Боревич З.И. в работе [3]. Сетевые группы нашли широкое, применение в описании решетки подгрупп линейных групп, см.»например: [4],[9],[17], чем и вызван интерес к ним. Более подробно "сетевая" тематика будет освещена в обзоре литературы, а пока отметим, что сетевые группы в определенном смысле похожи на полную линейную группу и поэтому задача нахождения их автоморфизмов наиболее близка к аналогичной задаче для группы (п , .
Среди автоморфизмов группы ОЬ(п , Й ) вьделяются четыре типа, называемые элементарными.
(1) П.: а ► а а и'1 , а с&Ет, Й) , иеСЬ(п, 5),
где 5 - некоторое расширение кольца Я.
(2) £ : а >■ е а + а -е^а1, ае & ь ( и, А) , е
идемпотент кольца К.
(3) ъ : (а..)—* ( г ( а.л ..) , ае йКп.ю , т
ч ч ч ’
автоморфизм кольца Р5,
(4) X *. а--> % (а) а , аебЬ^^ю^жподходящий гомоморфизм , X:
Классические результаты описания автоморфизмов звучат пример-

но так: при некоторых предположениях на кольцо Я и число п каждый автоморфизм группы йЫп.Я) представляется в виде произведения элементарных автоморфизмов вида (1)-(4). В этом случае также говорят, что все автоморфизмы группы' & Ь < и , Я ) стандартны, см., например: [473 , [Ц7], [143] и т.д. В последнее время в евши с переходом к некоммутативным кольцам стандартными автоморфизмами иногда называют суперпозицию автоморфизмов вида (2), (4) и автоморфизма кольца М (п, Я) .В качестве примера такой ситуации можно привести работы [41],[423. Для сетевых подгрупп элементарные автоморфизмы претерпевают некоторые изменения, что вызвано спецификой строения сетей. Однако основные результаты формулируются, как и в классическом случае: всякий автоморфизм сетевой группы 6) является произведением элементарных автоморфизмов (в каждом случае мы приводим их определение). Можно сказать и иначе: каждый автоморфизм сетевой группы 6(6) является стандартным (в вышеуказанном, более широком смысле), т.е. является суперпозицией автоморфизмов вида (2), (4) и автоморфизма сетевого кольца М(6).
Но для большей точности мы всегда приводим также и разложение автоморфизма сетевого кольца М(е) на более простые, элементарные автоморфизмы.
Прежде чем сформулировать основной результат работы, сделаем небольшое замечание. В наших результатах обычно требуется неразложимость сети (по поводу определения см. §1). Это требование не является принципиальным; сделав необходимые переформулировки, от него можно отказаться. Однако это приводит к неоправданному (на наш взгляд) техническому усложеннию работы, что и послужило причиной введения вышеуказанного ограничения.
Итак, основной результат настоящей работы состоит в том, что

автоморфизмов.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ I. Пусть е - насыценная сеть, у - автоморфизм группы А>Сг(в'),1р(Ь)^о . Если сеть е псевдосимметрическая» то пусть от е Б ^ такова, что *6 = . Тогда
найдется мономиальная матрица а е & такая, что, обозначив
у (а) = а ус а) и"1,
у (а) = саг) и уса.) и"1 (от)'1 У
получим либо --у Стр = ПРИ всех » ли^о
чЕ (Т..} = Т.. при всех Т.. ® Т (6 ) . т у у * ч
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Всякая экстремальная инволюция ^ однозначно записывается в виде с! = $ . Поскольку # лежит
в центре группы Сгсег') , а любой автоморфизм сохраняет центр, у индуцирует подстановку у на множестве индексов I
- {-1, ..., »1 по правилу
тр(*-с1. <-о> = (-1К
Возьмем в качестве а штрицу (р) , при этом у($ о1а-1))
- %'• с(. (--о . Отсюда сразу видно, что У>(т^ ) есть либо Т. . либо Т. . Обозначим через Т множество Т. из Т(6),
31 -1
для которых •уП'--') = Т.. , через Т - остальные элементы
ч ч) *
тсе).
Ясно, что т. } с - -1, л замкнуты относительно коммутирования. Если Т1 и не коммутируют, то найдутся Т. е т и
Ггр 6 Тя » *ЦДЯ ВТОРЫХ СТ. ,Тгр3^е . П0СЛе ПрИМвНвНИЯ у получим СТ., ,т ] ф е , что невозможно. Из насыщенности &
у ’ р ч
следует, что либо Т , либо пусто, откуда и вытекает