Тождества и радикалы представлений алгебр Ли

• Автор: Липянский, Рувим Семенович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Место защиты: 0
• Количество страниц: 134 c. : ил

С ОДЕРЖАНИЕ

Глава 0. Предварительные сведения

Глава I. Многообразия и радикальные классы представлении

лиевых и ограниченных лиевых алгебр

§ I. Треугольные произведения представлений алгебр Ли

и р -пар

§ 2. О связи треугольного произведения р-пар с операторами на классах пар

§ 3. О тождествах ограниченной алгебры Ли треугольных

матриц. Триангулируемость р -алгебр Ли

§ 4. Тождества алгебры Ли треугольных матриц. Триангулируемость алгебр Ли

§ 5. Полугруппы радикалов и многообразии лиевских пар

§ 6. РІ -многообразия и малые многообразия представлений алгебр Ли
Глава II.Радикалы в алгебрах Ли линейных преобразований ... 80 § 7. Алгебраические элементы и отвечающие им радикалы
алгебр Ли линейных преобразований
§ 8. Алгебраические л.п. и относящиеся к ним радикалы над полями положительной характеристики. Некоторые примеры
§ 9. Нильпотентные л.п. в действующем радикальной алгебре Ли
§ 10. О радикалах в коммутаторных алгебрах Ли
Литература

Одним из основных методов изучения алгебраических систем является рассмотрение многообразий и радикалов. Хорошо известны достижения в изучении многообразий групп, колец и линейных алгебр (см. Х.Нейман [28], Ю.А.Бахтурин [6] , К.А.Жевлаков, А.М.Слинько, И.П.Шестаков, А.И.Ширшов [50] ). Начало общей теории радикалов было положено в работах А.Г.Куроша [24] и С.Амицура [4,5] (см. также монографию В.А.Андрунакиевичз и Ю.Ы.Рябухина [2] ).
Основньш объектом изучения настоящей диссертации является двуосновная система , где V - векторное пространство над
полем К , а Ь - алгебра Ли, представленная эндоморфизмами пространства V . При этом представление алгебры Ли Ь в пространстве V (иначе - лиевскэя пара ад) изучается как с точки зрения тождеств представления и соответствующих многообразий, так и с точки зрения радикальных свойств.
Хорошо известно естественное соответствие между вполне инвариантными идеалами свободной алгебры РОС) и многообразиями алгебр Ли над К , при котором всякому многообразию Е сопоставляется идеал Т(Е) всех элементов Р(Х) таких, что^^.-Л)- тождество в Е (см., например, [6] ). В теории многообразий представлений-алгебр Ли аналогичную роль играют специальные идеалы универсальной обёртывающем алгебры ШХ5, т.е. идеалы замкнутые относительно всех таких эндоморфизмов , что >0С) Г(Х) (см. Л.А.Симон ян Г 46]). В своём развитии эта теория часто использует методы и идеи теории многообразий представлений групп, основные результаты которой отражены в монографии Б.К.Плоткинз и С.М.Вовси [401,

а такие б работах Б.й.Плоткина [37, 39].
Многообразия представлений алгебр Ли в, свою очередь, используются также в приложениях к теории многообразий алгебр Ли. Рассмотрение тождеств представлений алгебр Ли для описании тождеств самих алгебр Ли проводилось В [10] , [42] , [43] и др. В работе И.Б.Воличенко [ю! этим методом устанавливается конечная бз-зируемость подмногообразий в к К ; Ю.П.Размыслов [43] , исследуя тождества канонического представления алгебры §К?*аЮ (сЧад К* -О ), доказывает, что все тождества алгебры Ли вытекают
из тождества Каждому многообразию
Ж. представлений алгебр Ли наряду с вербальным идеалом отвечает также Зь -радикал. Если С^Ь) лиевскэя пара, то её £ -радикал -это наибольший Ь -подмодуль из V ? содержащийся в влногообрэзин &
С другой стороны, имеется 0 -радикал действующей алгебры Ь в представлении (/3Ь) - идеал со свойством 8 , являющийся суммой всех идеалов из Ь * которые обладают свойством 0 . При изучении радикалов представления алгебры Ли, учитываются также свойства ассоциативной оболочки этого представления.
Радикалы абстрактных алгебр Ли изучались для конечномерного случая в работах В.Киллингз [16 - 18], Э.Кзртанэ [19] , Ю.Д.АдоЕП , А.К.Мальцева [27] и др., для бесконечномерного -Б.И.Плоткина [30] , А.И.Кострикинз [23] , Л.А.Симоняна [44] ,
Б.Хартли [49] и др.
диссертация состоит из главы 0 (предварительные сведения) и из двух глав, включающих 10 параграфов. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
I) приводится описание базиса тождеств алгебры ЛиТ(п,,К) и р-алгебры Ли ТрОцК),. а также базиса тождеств их естественных представлений (теоремы 3.1, 3.2, 4.7, 4.8, 4.9). Решён вопрос о

такие, что $1 = Уйм 0/191л.) , а УаъС^Ьг,) . Согласно предыдущему замечанию тг ((У^Ь^У (Уа,!-!*,!)* $!.£{>
Обратное включение очевидно.
§3 0 тождествах ограниченной алгебры треугольных матриц. Триангулируемость р-алгебр.
Одним из первых и важнейших вопросов, который возникает при изучении многообразий представлений ограниченных алгебр является следующий: все ли тождества конечномерного представления являются следствиями конечного множества тождеств из их числа. Естественно, аналогичный вопрос возникает и при изучении многообразий ограниченных алгебр. В этом параграфе положительный ответ получен при описании тождеств канонического представления три,Ю- р -алгебры треугольных матриц и тождеств самой р -алгебры ТРМ). Имеют место следующие утверждения.
(3.1) Теорема. Если поле К бесконечно, то уад(К* ТрМ)) определяется тождеством
Е«1,ЗД...1*ЛЧ-*1ьЗв0-
(I)
2. Если поле К конечно ОКІ-р"1) , то уаг(К^Тр(п,,К)) определяется тождествами вида
Г л
где вместо V; стоят слова *ч.{, - или В^^
(3.2) Теорема. I. Если поле К бесконечно, то уагСТрОчЮ) определяется тождествами:
(2)
П ..Д ... С « О