Подпрямые суммы абелевых групп без кручения первого ранга

• Автор: Трухманов, Вячеслав Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

ГЛАВА I. ПРОСТЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ

§ 1. Ранг и индуцирующая группа простой специальной группы

§ 2. Элементарные свойства простых специальных групп

» § 3. Простые специальные группы с изоморфными индуцирующими

группами

§ 4. Простые специальные группы с неизоморфными индуцирующими

группами

ГЛАВА II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ

§ 1. Специальная группа и ее образующие элементы

§ 2. Подгруппы специальной группы и р-специальные группы

§ 3. Прямые слагаемые и прямые разложения специальной группы

ЛИТЕРАТУРА

Актуальность исследования. Особое место в теории абелевых групп занимает теория абелевых групп без кручения конечного ранга, у истоков которой в 30 - 50-х годах стояли JI.C. Понтрягин, А.Г. Курош, А.И. Мальцев, Л.Я. Куликов, Р. Бэр и другие. В современной теории абелевых групп без кручения конечного ранга переплетаются идеи и методы линейной алгебры, теории чисел, модулей, колец, категорий, представлений. В настоящее время теория абелевых групп без кручения второго ранга находится в состоянии интенсивного развития. В 1961 году Р. Бьюмонт и Р. Пирс в совместной статье [10], дали удовлетворительное описание абелевых групп без кручения второго ранга с точностью до квазиизоморфизма. Эта работа послужила началом серьезных исследований абелевых групп без кручения второго ранга.
Р. Бьюмонт и Р. Пирс также ввели класс факторно-делимых групп, которые описываются при помощи достаточно простых инвариантов. Используя инварианты Бьюмонта - Пирса, Арнольд построил двойственность в классе факторно-делимых групп. Эту двойственность A.A. Фомин распространил на класс двухтипных групп, который является обобщением класса групп без кручения второго ранга.
Основополагающие результаты по теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга были получены Л.Я. Куликовым. Л.Я. Куликов [20] впервые стал рассматривать подпрямые суммы абелевых групп без кручения. Он показал, что любая счетная ненулевая редуцированная (обобщенно р-примарная) абелева группа без кручения представима в виде подпрямой суммы (обобщенно р-примарных) S-групп, существуют абелевы группы без кручения континуальной мощности, не представимые в виде подпрямой суммы S-rpynn. В.Х. Фарукшин [29] рассмотрел специальную подпрямую сумму типа Q двух групп и нашел необходимое и достаточное условие разложимости этой специальной подпрямой суммы в прямую сумму собственных подгрупп. В.А. Дегтя-

ренко [14] изучала строение подпрямой суммы двух групп первого ранга, индуцированной группой где I - конечное множество.
/е
В представленной диссертационной работе изучаются абелевы группы без кручения второго ранга специального вида, для которых оказалось возможным построение числовых характеристик.
Цель и задачи исследования:
изучить строение подпрямой суммы двух циклических групп; изучить строение подпрямой суммы двух рациональных групп.
Методы исследования. Используются методы теории абелевых групп, методы теории чисел, методы теории решеток.
Новизна результатов. Все полученные результаты являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:
— Построен класс простых специальных групп.
— Установлено биективное соответствие между классом простых специальных групп и некоторым множеством упорядоченных пар целых чисел.
— Исследована взаимосвязь между простыми специальными группами с различными, неизоморфными, индуцирующими группами.
— Построен класс /^-специальных групп, являющийся обобщением класса простых специальных групп.
— Установлено биективное соответствие между классом р-специальных групп и мультипликативной группой обратимых элементов кольца целых р-адических чисел.
— Построен класс специальных групп, являющийся обобщением класса р-специальных групп.
— Установлено биективное соответствие между классом специальных групп и мультипликативной группой обратимых элементов кольца универсальных чисел.
— Получены необходимые и достаточные условия, при которых специ-

гда и только тогда, когда прямая сумма GA © GB является подгруппой прямой суммы G'a Ф G'b ■
Доказательство. Очевидно, что прямая сумма Ga © GB ~ пА © пВ является подгруппой прямой суммы G'a © G'B = n'A Ф п'В тогда и только тогда, когда число п делится на число п', а это равносильно условию, что группа G является подгруппой группы G '.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пару целых положительных чисел (п, т), для которых выполняется условие: 1 < т < п , будем называть инвариантом простой специальной группы G, если она индуцирована группой Z(n), а склеивающий автоморфизм г группы G определяется условием: т(1) = т.
СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы. Простые специальные группы G и G ' равны тогда и только тогда, когда их инварианты совпадают.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 1.4.2.
СЛЕДСТВИЕ 4. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы, G, G|, G2 - простые специальные группы с инвариантами (п, к), (щ, к), (п2, кг), соответственно. Группа G является пересечением групп G и G2 тогда и только тогда, когда число п является наименьшим общим кратным чисел п и п2, а число к удовлетворяет системе сравнений :
Г к^к,{п)
к = к2(п2)
в кольце целых чисел Z.
Доказательство, очевидно, следует из теоремы 1.4.2.
СЛЕДСТВИЕ 5. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы, G, G1, G2 - простые специальные группы с инвариантами (п, к), (п, кх), (пъ кг), соответственно. Группа G является наименьшей простой специальной группой, содержащей группы G и G2 в качестве подгрупп тогда и только тогда, когда: