Структура минимальных систем узлов трехмерных решеток

• Автор: Горкуша, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с.

Список обозначений

ГЛАВА 1. Локальные минимумы двумерных полных решеток

§ 1. Определения и простейшие свойства

§ 2. Локальные минимумы и цепные дроби

§ 3. Минимальные базисы и матрицы

ГЛАВА 2. Локальные минимумы многомерных полных решеток

§ 1. Основные определения и простейшие свойства

§ 2. Дополнение смежных локальных минимумов до базиса

ГЛАВА 3. Минимальные базисы трехмерных решеток

§ 1. Вспомогательные леммы

§ 2. Минимальные системы узлов

§ 3. Достаточные условия минимальности базиса для трехмерных решеток ’’общего положения”
§ 4. Необходимые условия минимальности базиса для трехмерных решеток ’’общего положения”
ДОПОЛНЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
1) Запись [а:о; • 1 #», ■ ■ ■ ] обозначает цепную дробь

Х’1 +
с формальными переменными хо, Х Х{,
2) Для рационального г
г = [г0;*1 *в]
есть (каноническое) разложение г в цепную дробь с = [г (делая часть г) и неполными частными t. ... Л8. которые являются натуральными числами. При этом всегда ts > 2 при в > 1.
3) Для вещественного а, ЦаЦ есть расстояние от а до ближайшего целого.
4) Запись М С М' означает включение М в множество М' как собственного подмножества (М ф М’), а М С М' допускает возможность равенства М = М'.
5) Для конечного набора ... ,х^) из к точек х^ = (х^ ..., *<*>) Е К® положим
= екв1Ы < Иь...,)х8| < ил,
где для г = 1 з
И>‘
6) Для 1 < j < в символ е<Я означает вектор, у которого на ом месте стоит единица, а на остальных нули.
’’Начала” Евклида, написанные в начале III века до н.э., на протяжении более чем двух тысячелетий оставались основным источником геометрических знаний для всех культурных народов. И не только геометрических! В книгах VII - X ’’Начал” (см. [1]) излагаются теоретико-числовые вопросы. Седьмая книга начинается с опреде.пений. Для нас представляет интерес следующие три:
1. Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.
2. Число же - множество, составленное из единиц.
13.Пеувые между собой числа - суть измеряемые только единицей как общей мерой.
Во времена Евклида единица не считалась числом. Поэтому рассуждения проводились отдельно для единицы и остальных натуральных чисел. Это следует иметь в виду при ознакомлении с алгоритмом нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, излагаемого в первых двух предложениях книги VII. Сначала рассматриваются взаимно простые числа:
”Если отложены два неравных числа и все время при последовательном отнятии меньшего от большего остаток не измеряет предшествующего ему (отнимаемого), пока не останется единица, то первоначальные числа будут первыми между собой. ”
Далее, во втором предложении, эта же процедура применяется для вычисления d = ’Н0Д(а,5) с d > 1. Если дословно следовать
Евклиду, то для пары (70,55) она имеет следующий вид:
70. 70 - 55 = 15;
55, 5-5 - 15 = 40, 40 - 15 = 25, 25 - 15 = 10:
15, 15 - 10 = 5;
10, 10 — 5 = 5 = НОД(70,55).
Заменяя последовательные вычитания в каждой строке одним делением с остатком, получим более компактную современную запись для алгоритма Евклида:

справедливы оценки:
І7і|<Иь
Ч-УІ2 < 72 = (-ІтУ’і + 2|т(22,| + Т(23>)/3 < (2|7(22’і + І7(23>1)/3 < І-П2, і7з| = (2|7(з2)| + і7(з3,|)/3< Из-Из минимальности «5^ следует, что
І7(,2)| = І7?,|И7?)7(,8)<0.
В этом случае 73 = 0. Ранее мы установили, что 73 > 0. Таким образом, ни у одного из узлов множества У знаки координат не совпадают. Без ограничения общности можно считать, что
7(1) = (1,а2, -аз), 7(2) = (Л ~Ь2,Ь3), 7(3) = (і, -с2, -с3)
с неотрицательными числами а2, а3, 62, Ь3, с2, с3.
Рассмотрим узел

= 7 — 7*3’ - ( —27^3) + 7^ + 7^2))/3
— (О, («2 — Ь2 + 2с2)/3, (—аз + Ьз + 2сз)/3).
Узел 7 не нарушает минимальность .3^ только для
Ьо = 0, с> - а2, С'з
Тогда система имеет вид:
У = {(*, а-2, —а3), (г, 0, Ь3), (*, — а-2, -а3)}.
И в этом случае получили противоречие с тем, что 7з > 0. Следовательно, наше предположение о том, что узел-вида
(7(1)+7(2)+7(3))/ЗеГ неверно. Лемма 7 доказана.