Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле

• Автор: Матвеева, Ольга Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Определяющие аналитические свойства некоторых классов рядов Дирихле и их приложения
1.1. Аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами и проблема обобщённых характеров
1.2. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле и граничное поведение некоторых классов степенных рядов
1.2.1. Аналитические свойства рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке единица
1.2.2. Об одном критерии рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами
1.2.3. Об одном классе степенных рядов, которые определяют функции, не являющиеся мероморфиыми в единичном круге
2. Аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, определяющих целые функции
2.1. О рядах Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа
2.2. Аналитические свойства рядов Дирихле, отражающие их поведение в критической полосе
2.2.1. Аппроксимационный подход для исследования поведения рядов Дирихле в критической полосе

2.2.2. Некоторые сведения из теории почти-периодичеекпх функций класса Д
2.2.3. Плотностные теоремы для нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, лежащих в критической полосе
2.2.4. Результаты численного эксперимента, связанные с поведением рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе
3. Некоторые задачи, связанные с поведением 1_-функций Дирихле в критической полосе
3.1. Основная и расширенная гипотезы Римаиа и нули целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами
3.2. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана
3.3. О численных экспериментах, связанных с поведением Ь-функций Дирихле в критической полосе
Заключение
Список литературы

Введение
Диссертационная работа посвящена изучению аналитических свойств отдельных классов рядов Дирихле и приложениям полученных результатов в задачах теории Ь-функций Дирихле. Метод исследования аналитических свойств рядов Дирихле позволил также получить приложения и в теории степенных рядов.
Цель данной работы заключается в решении следующих задач:
1. Для некоторых классов рядов Дирихле получить определяющие их аналитические свойства и указать приложения этих результатов в теории Ь-функций Дирихле и в теории степенных рядов.
2. Изучить аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, отражающие поведение таких рядов в критической полосе.
3. Уточнить и дополнить новыми результаты, полученные для рядов Дирихле с периодическими коэффициентам в случае Ь-функций Дирихле. В частности, рассмотреть некоторые вопросы, связанные с расширенной гипотезой Римана.
Диссертация состоит из трёх глав, в каждой из которых решается одна из этих задач. Что касается первой задачи, то её постановка не является повой. Ещё в 1984 году в работе 115] рассматривалась задача определения аналитических свойств рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые характерны для рядов Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами.
А именно, в этой работе было доказано следующее утверждение:

Лемма 1.6. Пусть ряд Дирихле f(s) удовлетворяет условию 1 теоремы l.Jh Тогда для любого р : 0 < р < е^л+1^ для функции /(s)F(s) имеет место разложение
СО yi
/(з)Г(а) «= ФДв) + ps V s?k,k- 1,..., О,-1.-
^—' п + s

где Ф„(я) — целая функция, а ап= Res /(s)P(s).

Доказательство. Для определённости будем считать, что для абсциссы абсолютной сходимости ряда Дирихле
ял = Е

имеет место оценка к < о к < Щ, где щ ^ к + 1. Тогда коэффициенты а„ этого ряда удовлетворяют условию
ап < (7пГ (1.21)
Рассмотрим степенной ряд

9{х) = У] пп°хп.
Индукцией по к легко показать, что
91 {'х) =

(1 - x)n°+v
где Рщ{х) — многочлен степени щ, и РПо(1) 0.
Следовательно, при условии (1.21) на отрезке (0,1) имеет место оценка