Типичные способы описания собственных классов. Глобальная размеренность классов

• Автор: Ализаде, Рафаил Гасаналы оглы
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 82 с.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ И ИХ СВОЙСТВА § 1.1. Копроективно и коинъективно порожденные

собственные классы

§ 1,2. Классы типа Иванова и Харта

ГЛАВА II. ОПИСАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ

НЕКОТОРЫХ ТИПОВ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ § 2.1. О наследовании свойств копроективности и коинъективности для некоторых собственных классов

§2.2. Индуктивно замкнутые собственные классы

в категории абелевых групп

§2.3. Л! !%г -проективные. модули

ГЛАВА III. ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ . 62 §3.1. Размерности индуктивно замкнутых собственных

классов в категории абелевых групп

§3.2. Глобальная размерность классов Кепка

§3.3. Глобальная размерность классов Харта и Иванова
ЛИТЕРАТУРА

Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей и Д - класс коротких точных последовательностей /точных троек
Е: 0—О левых Я -модулей. Если Е €ДЯ_ говорят, что 6 является Л -собственным мономорфизмом или Л. является -собственным эпиморфизмом .Длинная точная последовательность Б : —— >АЛ+1 >. . . называется
Л -собственной, если все тройки вида
О-—>К&г оСл: >1пк*гь >0 принадлежат; 6#
Говорят, что подмодуль А модуля 6 является -собственным /или просто собственным, когда ясно, о каком классе идет речь/,
если тройка 0— —»А »6 *в/Л— —» 0 принадлежит
классу
Класс Л называется собственным, если выполнены следующие условия:
Р~* 1 /вместе с каждой тройкой в Л содержатся все изоморфные ей точные тройки;
Р~ % / всякая расщепляющаяся точная тройка содержится в Л ;
Р - Ъ / композиция / о I двух Ли -собственных мономорфизмов I и ^ является Л -собственным мономорфизмом;
Р - 3 V КОМПОЗИЦИЯ р двух Л -собственных эпиморфизмов ОС и р является Л -собственным эпиморфизмом;
Р-Ч /если 6 , у -мономорфизмы и является Л -собственным, то 6 является Л -собственным мономорфизмом;
Р- Ч'/ест а , ^ эпиморфизмы и является л -собственным, то ^3 также Л- -собственный эпиморфизм.
Расширения длины П модуля А с помощью модуля С , явля-щиеся -собственными точными последовательностями, приводят к определению аддитивных функторов

Еэс^^: (Я-Жооі) х(Я-Мооі)—>М /см.[2] , гл.ПІ, §4/, причем Ех£ ^ является подфунктором функтора ЕзсЛ^
Из функториальности ЕЖ ^ следует, что в условиях.
Р-Ч и Р" V7 требования мономорфности ] и эпиморфности об лишние /см. [ЗО] и [б] /.
Собственные классы нередко называются чистотой /см.[25],
[з]и др./. В такой терминологии вместо прилагательного" Л -собственный" используется "Л -чистый".
Модуль М называется Л -проективным или проективным относительно класса Л , если тройка К от (М, Е) точна для любой тройки Е из Ж , Модуль /V называется Л -инъективным или инъективным относительно класса Л , если тройка Но* (Е, М) точна для любой тройки Е из Лі
Существует два самых распространенных способа задания собственного класса.Первый способ заключается в следующем /см.[5]/. Пусть Т(М,Е>) - аддитивный ковариантный или контравариантный функтор, точный справа или слева, и зависящий от объекта М из некоторой категории. Если м - некоторый класс объектов этой категории, обозначим через ^ 1 (Лі) гласе всех таких точных троек Е , что тройки Т(М, Е) точны для любого М из Ж . Оказывается, Ь'1 (Лі) -всегда собственный класс.
Пусть Ж - некоторый класс левых Я -модулей. Если взять в качестве Т(М,-) функтор И. от. (М,‘) , получим проективно порожденный собственный класс Ж~1(Лі) . Взяв в качестве Т(М ,’) контравариантный функтор Нот (' ,М) »получим инъ-ективно. люрожденный собственный класс 1І(Ж) . Другими словами, Ж'й (Ж)/ Vі(Ж) і является наибольшим собственным классом, для которого все модули тЖ являются относительно проективными /инъективными/. Пусть теперь Ж - некоторый класс

2:рЛ+1 (С Z /если -Q.p= 0 , то вместо Е возьмем точную последовательность 0 ^ 2р *•Z—> Ер~ * О , определенную стандартным вложением Ер с Ер"5/. Рассмотрим тройку Е $ Z ^ . При 9^ Р эта ~ нулевая. При <^ = р и €
из отображения Ер’'4"''* ® Е ^—>(ЕрЛ© Ер") ® Е ^ получится тождественный изоморфизм группы Z р-^ . Таким образом,
Е 6 rC~i(ST). Однако легко видеть, что тройка Е® 2 рп** не является точной, поэтому Е Ф Т) . Следовательно, группа Zр" не является группой плоского типа.
Наоборот, пусть множество Jf2p бесконечно. В силу следствия
5.1 в [б] группы Zp* £ Si р являются Л -проективными, а потому
и группами плоского типа. Так как Ер" - прямой предел этих групп, то Е р~ является группой плоского типа /ем. предл. 10.3 в[о]/.
Теорема 2.2.5. Группа /V является группой плоского типа тогда и только тогда, когда в разложении группы &F(/Y) в прямую сумму циклических групп участвуют только группы ИЗ SI р и из Тр (Ж)/Вр(А^М О вытекает, что множество Slr бесконечно.
Доказательство. Пусть /V - группа плоского типа. Тогда, как ограниченная сервантная подгруппа, любое прямое слагаемое для типа Ер*- является прямым слагаемым в /V /см. теорему 27.5 в[4]/. Поэтому Ер"- - группа плоского типа, а так как она конечно порождена, то эта группа ЕЯ -проективна /см. предложение
2.3.1 /и в силу следствия 5.1 из [5j Ер* б Sip,
Пусть Тр {/V)О . Если бы множество Sip было конечным, то группа bp(N) была бы ограничена и по теореме 27.5 из |4j последовательность /2/ расщеплялась бы. В этом случае группа N содержала бы в качестве прямого слагаемого подгруппу Ер" , откуда вытекало бы /см. предл. 10.3 в[b]/, что Ер" - группа плоского типа. Однако это противоречит утверждению леммы 2.2.4.