Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница

• Автор: Абанина, Любовь Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 65 с.

Содержание

Введение

Глава 1. Алгебры Лейбница, алгебры Ли и их многообразия

1.1. Основные определения

1.2. Многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством х(уг) =

1.3. Многообразие алгебр Ли ААг и его свойства

1.4. Пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста. .28 Глава 2. Многообразие з А левонильпотентных ступени не выше трех

алгебр Лейбница

2.5. Базис полилинейной части многообразия зА

2.6. Строение Рп(зА) как 5„-модуля и свойства

Глава 3. Некоторые многообразия алгебр Лейбница почти
полиномиального роста
3.7. Многообразие
3.8. Многообразие Уз
3.9. Многообразие У
Литература

Введение.
В данной диссертационной работе изложены результаты, относящиеся к теории многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, связанные с вопросом роста многообразий.
Многообразие линейных алгебр над некоторым полем можно определить как класс всех линейных алгебр над этим полем, в которых выполняется фиксированный произвольный набор тождеств. Задание набора тождеств может быть неявным. Например, можно рассматривать многообразия, порожденные той или иной линейной алгеброй.
Одной из числовых характеристик произвольного многообразия V является размерность с,,(У) пространства полилинейных элементов степени п. Числа Сп(У) образуют последовательность, которую иногда называют последовательностью коразмерностей вербального идеала, соответствующего данному многообразию. Как принято в математическом анализе, различается полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост.
Автором рассмотрены многообразия почти полиномиального роста. То есть само многообразие имеет показательный рост, а любое его собственное подмногообразие - полиномиальный.
В таких классах линейных алгебр, как ассоциативные, алгебры Ли, широко известны результаты о многообразиях с почти полиномиальным ростом.
Так, А.Р. Кемером [19] было показано, что только два многообразия ассоциативных алгебр имеют почти полиномиальный рост. Одно из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана С, второе -алгеброй иТ2 верхнетреугольных матриц порядка два.
В теории ассоциативных алгебр с инволюцией ситуация сходная. Со-

гласно результатам A. Giambruno, С.П. Мищенко, A. Valenti [39], [44] существует только два многообразия с почти полиномиальным ростом. Одно из них порождается алгеброй G2 = К® К, где К - основное поле с инволюцией (а,Ь)* = (Ь,а). Это многообразие играет роль аналогичную роли бесконечномерной алгебры Грассмана G. Второе многообразие порождается четырехмерной алгеброй (аналогично UT Существенным отличием теории многообразий алгебр Ли от ассоциативного случая является наличие многообразий сверхэкспоненци-ального роста. В то время как в ассоциативном случае хорошо известен результат А. Регева об ограниченности роста любого собственного многообразия ассоциативных алгебр некоторой экспонентой (см. [6], п. 6.1.9). Первым хорошо изученным примером многообразия сверхэкс-поненциального роста алгебр Ли является многообразие AN2, определяемое тождеством (xiX2X^)(x4X^xq) = 0. Данное многообразие было подробно исследовано И.Б. Воличенко [12], [14]. Новые результаты исследований этого многообразия можно посмотреть, например, в работе [38].
Следуя результатам Ю.П. Размыслова, И.Б. Воличенко, V. Drensky,
С.П. Мищенко [10], [11], [25], [26], [27], можно сказать, что в теории многообразий алгебр Ли существует только четыре разрешимых многообразия почти полиномиального роста. К тому же построен только один пример неразрешимого многоообразия с таким ростом. Это многообразие порождено трехмерной простой алгеброй Ли [17], [31], [32], которое обозначим Vo- Существование новых примеров неразрешимых многообразий с почти полиномиальным ростом является интересной и трудной проблемой в теории многообразий алгебр Ли.
Перечислим разрешимые многообразия, рост которых является по-

где 1 = 1,2Х{ = ас1 Х{ - внутреннее дифференцирование. Напомним, что результат гиХ{ применения оператора Х{ к элементу и) алгебры равен произведению гол,, а также ш(Х,Х^ = ((гих{)х^). По-лиоднородный элемент, построенный по диаграмме Юнга с разбиением Л, можно записать в виде
ЖтгЗл'Дд^ ... 5д;г1. (9)
При этом для каждого вида диаграмм будут соответствовать определенные элементы вида (9). Покажем, что такие элементы не равны нулю в многообразии зДг.
Линеаризация элемента (9) лежит в подпространстве <2^. Для начала рассмотрим диаграмму с одним столбцом, при этом элемент запишется в виде
2-п Д1—1 (-^1, • • • , Х.ц—1) ■
Тогда верны следующие соотношения:
®«5„-1(Х1, - . • , Хп—{) = ^р.Хп(хХ2) . . . (Х2к-1%2к) =
= к £ (-1)рхп(хкх^)...(хгкхк),
РёЗ,,-!
( 1 2 3 ... (2Л-1) 2*
гдеп 1 = 2< ... < 1к,Р =
^ к 3 к ... 1к Зк ' Если вместо хп подставить полином / ф 0 из Тк, вместо переменных Х,Х2, Х3, Х4,..., соответственно 01,61,02, &2)..., то результат подстановки будет равен к/ск = к/ ф 0. Поясним, что все слагаемые в сумме равны нулю, кроме одного, когда к = 1,12 = 3,..., г* = 2к - кк = 2,.72 = 4,...,^ = 2к.
Понятно, что данные рассуждения применимы и к диаграмме Юнга с тп столбцами.