Пирсовские слои и цепи полуколец

• Автор: Марков, Роман Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 84 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

1 ПИРСОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУКОЛЕЦ

1.1 Основш.ге определения: полукольцо, идемнотенты, идеалы

1.2 Регулярные идеалы, конгруэнция Пирса

1.3 Функциональные представления полуколец

2 ПИРСОВСКИЕ СЛОИ ПОЛУКОЛЕЦ

2.1 Свойства пирсовских слоёв произвольных полуколец

2.2 Свойства пирсовских слоёв некоторых классов полуколец

3 ПИРСОВСКИЕ ЦЕПИ ПОЛУКОЛЕЦ

3.1 Определение и свойства пирсовской цепи полукольца

3.2 Применение пирсовских цепей полуколец
3.3 Ппрсовские цени полуколец с инволюцией
3.4 Ппрсовские цепи полумодулей
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Диссертация посвящена исследованию полуколец и полумодулей над полукольцами методами функциональных представлений. Исследование ведется следующим образом. Выделяется класс полуколец с богатой булевой алгеброй центральных дополняемых идемпотентов. Для таких полуколец существует нетривиальный пирсовский пучок. Устанавливается связь (характеризация) исследуемого полукольца с его пирсовскими слоями. Ппрсовские слои полуколец могут иметь достаточный набор центральных дополняемых идемпотентов, что позволяет перейти к рассмотрению пирсовских слоев нирсовского слоя. На этой идее строится конструкция ппрсовской цепи конгруэнций на полукольце, которая применяется для исследования исходного полукольца.
Рассмотрим два источника (и две составляющие) диссертационного исследования — теорию пучковых представлений алгебр и теорию полуколец.
Пучки используются в математике с 1945 года, когда их открыл Ж. Лере. Усилиями прежде всего А. Гротендика и участников его семинара пучки становятся важным инструментом алгебраической топологии. Интересующие нас применения пучков для исследований алгебраических систем появились сначала в монографии Р. Годемапа [1] в 1961, а затем в работе ошиь же Гротендика [2]. Именно с именем последнего связано первое (1960 г.) изоморфное функциональное представление коммутативного кольца с единицей сечениями пучка. С точки зрения пучковых представлений пучок можно понимать, во-первых, как обобщение конструкции алгебры С(Х) непрерывных функций на топологическом простанстве. Отличительной особенностью пучка (Р, X) при этом является то, что функции принимают значения не в одном объекте, а в различных алгебрах для различных точек из X. Во-вторых, пучковое представление алгебры А (более точно, факторное представление) можно понимать как подгірямое произведение алгебр Ах той же сигнатуры, что и у А, индексированных точками некоторого топологического пространства. На дизъюнктном объединении Ах вводится топология, естественным образом связанная с топологией на X и "связывающая"алгебры Ах в пучок.

Вслед за Гротендиком был» построены другие пучковые конструкции и получены изоморфные представления. Отметим некоторые наиболее важные результаты и их авторов. И. Ламбек |;$] построил пучок (1965 г.), в коммутативном случае сопадающем с ограничением пучка Гротендика, а позже обобщил его для симметрических колец н модулей (.'}]. В 1966 г. И. Даунс п К. Хоффман [4] дали изоморфное представление бпрегулярного кольца не обязательно с единицей. Серии работ была связана с представлениями строго гармонических п гельфандовых колец (Кох, Малой, Хоффман, Сименс [5-8]). Большое число работ по этой тематике привело к концу 80-годов к появлению общих конструкций (компактность представлений, их полнота и др.), выявлению связей между различными функциональными представлениями, и, как следствие, оформлению теории пучковых представлений (колец) Серия результатов по представлениям были получены для ограниченных дистрибутивных решеток, почтн-колец, решеточно упорядоченных групп и колец, универсальных [9-11].
Наиболее важным представлением для наших исследований является представление, связанное с именем Пирса. В фундаментальной работе [12] Р. С. Пирсом построены пучки колец п модулей на стоуновском пространстве кольца. Любое кольцо изоморфно кольцу сечений своего пиреовского пучка, но нетривиальные представления получаются только для колец е «большой» булевой алгеброй центральных идемпотентов. При изучении таких колец (регулярных, бирегулирпых, заменяемых н пр.) хорошо зарекомендовали методы с использованием свойств их пирсовских пучков [18, И]. К примеру, и работе Д. В. Тюкавкнпа [15) пнреовекнп пучок используется при изучении регулярных колец с ппполюцией.
Дальнейшее изучение пиреовского пучка и его применение осуществлено в работах В. Д. Беджеса и В. Стефенсона |13, 16, 17], в которых они ввели понятие пнрсовской цепи. Идеи этой конструкции следующая: центральным идемпотентам кольца при пнрсовском представлении соответствуют глобальные сечения, принимающие в каждом слое пиреовского пучка либо ноль, либо единицу. Однако, в слоях могут быть нетривиальные наборы центральных идемпотентов, и, следовательно, возможно содержательное пирсовское представление слоев. Эта процедура «построения пирсовских слоев для ранее построенных пирсовских слоев» и приводит к пнрсовской цегш идеалов. Авторами даются некоторые приложения этой конструкции.
На русском языке основы теории пучковых представлений колец изложены в монографии Е. М. Вечтомова |18); элементы теории пирсовских цепей колец - в монографии А. А. Туганбаева [19].

множества U,..., ҐД можно считать попарно непересекаюіцимися. Для каждого j = 1,т построим глобальное сечение /3j, положив /3j — bу на £/ для любого і = 1,..., к. Тогда для любого М 6 Max BS выполняется
/(01,... ,àn,0i,... ,0т)(М) = g(âi,. ..,ân,pu... ,/3m)(M).
По теореме 1.1 сечениям /Зі,. - - , Д„ соответствуют элементы bi, ... ,Ьт Є S, поэтому равенство Даь... ,а„,Ьі,... ,£>т„) = д(аь,.. ,ап,Ьь ... ,Ьт) справедливо в 5. □
Расширения этого свойства на случай пирсовской цепи и дополнительных условий представлено в следующей главе (теорема 3.1); применение — в следующем параграфе.
2.2 Свойства пирсовских слоёв некоторых классов полуколец
Определение 2.1. Полукольцо S называется коммутативным в нуле (симметриче-скилі в нуле), если ab = 0 влечет Ьа = 0 (abc = 0 влечет acb = 0).
Определение 2.2. Левый аннулятор anni(B) = {s Є S: sB = 0} множества В Ç. S яв-
ляетпея левым идеалом полукольца S; левый (правый) аннулятор элемента а Є S обозначим через аппі(а) (аппТ(а)).
Определение 2.3. [38] Полукольцо, в котором ап = 0 влечет а = 0, назовем полукольцом без пильпотентпых элементов.
Лемма 2.1. Для полукольца без пильпотентпых элементов S справедливьі утверждения:
1. S — коммутативное в пуле полукольцо',
2. ab = 0 влечет asb = 0 для любого s Є 5;
3. S - симметрическое в нуле полукольцо',
4- атц(а) = аппг(а) для любого а Є S;
5. для любого подмпоэ/сества В С S множество anni{B) = annr(B) = anni(SBS) = annr(SBS) = {s Є S: SBS П SsS = 0} является идеалом.