Геометрия и комбинаторика пунктированных кривых с простейшими особенностями

• Автор: Артамкин, Игорь Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 131 с. : ил.

1. Канонические отображения пунктированных кривых с простейшими особенностями

1.1. Стабильные пунктированные кривые и модулярные графы

1.2. Модулярные графы и звездные когомологии

1.3. Дифференциалы

1.4. Каноническое отображение

1.5. Неприводимые кривые

1.0. Доказательство основной теоремы

2. Топологически тривиальные пучки на кривых с простейшими особенностями и дискретная теорема Торелли

2.1. Топологически тривиальные пучки

2.2. Пучки ранга один

2.3. Пучки с тривиальным детерминантом

2.4. Дискретная теорема Торелли
3. Производящие функции модулярных графов и уравнение Бюргерса
3.1. Производящие функции модулярных графов
3.1.1. Трехвалентные графы
3.1.2. Считающая функция для числа всех комбинаторных графов
3.1.3. Виртуальная Эйлерова характеристика М9і„
3.2. Склейки и разрезания модулярных графов
3.3. Решения уравнения Бюргерса
3.4. <7
3.5. Считающая функция для трехвалентных графов
3.6. Виртуальная Эйлерова характеристика Мд<п

Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Изучение многообразия модулей кривых — одно из активно развивающихся направлений алгебраической геометрии, востребованное не только внутри самой алгебраической геометрии, но и во многих других разделах математики, в первую очередь в теоретической физике. Классическим объектом исследования в алгебраической геометрии является некомпактное многообразие Мд>п модулей неособых алгебраических кривых (римановых поверхностей) фиксированного рода дсп фиксированными точками, называемых пунктированными кривыми. Такое многообразие модулей существует, если группа автоморфизмов соответствующих пунктированных кривых конечна, что согласно классическому результату Гурвица [14] автоматически выполнено при любом п > 0 при д > 1 и требует п > 1 при д = 1 и п > 3 при д = 0. В этом случае пунктированная кривая называется стабильной; для стабильных кривых конструкция многообразия модулей Мд,п и сг0 компактификации Мд,п с применением геометрической теории инвариантов дана в ставших уже классическими работах Кнудсена, Делиня и Мамфорда [19], [16]. При этом точкам компактификации многообразия модулей соответствуют особые кривые, имеющие только простейшие особые точки (т.е. двойные точки с разделенными касательными), на которых отмечено п неособых точек, при условии, что группа автоморфизмов такой кривой конечна. Такие особые пунктированные кривые также называются стабильными в смысле Делиня-Мамфорда. Основным комбинаторным инвариантом пунктированной кривой с простейшими особенностями является двойственный модулярный граф, вершины которого соответствуют неприводимым компонентам кривой, ребра — двойным особым точкам, а полуре-бра — отмеченным точкам.

Модулярные графы соответствуют различным стратам компакти-фикации многообразия модулей, а их комбинаторика — геометрии примыкания этих стратов. Это обстоятельство явилось причиной интенсивного внимания к модулярным графам в течение последних 10-15 лет Особенно востребованным в этом направлении оказался язык производящих функций (точнее, производящих формальных рядов), являющихся, по существу, статистическими суммами квантовой теории поля. Первый фундаментальный пример в этом направлении — многообразия модулей рациональных кривых Л^о.п с п > 3 отмеченными точками, представляет собой классическое многообразие модулей кривых Веронезе степени п - 3 в Рп_3, проходящих через п фиксированных точек общего положения, описан на современном языке в работе Капранова [17]. Основные результаты об эйлеровой характеристике и многочлене Пуанкаре компактифицированного многообразия Мо,п оказалось удобно сформулировать именно на языке производящих функций модулярных деревьев (см. [22]). Именно в этой ситуации был впервые отмечен феномен взаимной обратности производящих функций для открытой части Мо>п и для его компактификации, доказанный в общем виде в [4] (см. также главу 3 настоящей диссертации). В отличие от случая рода 0 при д > 0 компактифицированное многообразие модулей всегда особо и должно рассматриваться как орбиобразие, при этом вычисление его виртуальной эйлеровой характеристики оказалось весьма трудной задачей, поддававшейся решению только для малых значений рода ([10], [11]). Основополагающей в этом направлении явилась работа Харера и Загира [31] по вычислению виртуальной эйлеровой характеристики некомпактифи-цированного многообразия модулей Мд<п- Этот результат использован (в качестве начального условия) при вычислении виртуальной эйлеровой характеристики Мд,п в [4] (см. также главу 3 настоящей диссертации).
Связь производящих функций модулярных графов с уравнением Бюр-герса на первый взгляд представляется весьма неожиданной. Уравнение Бюргерса появилось в конце сороковых годов XX века ([8]) в гидро- и аэро-механике. Вскоре была найдена для него линеаризующая подстановка Коула-Хопфа ([20],[32]), сводящая его к обычному уравнению теплопроводности. Подстановка Коула-Хопфа для большинства интересных производящих функций модулярных графов приводит к задаче Коши для уравнения теплопроводности с расходящимися или, по крайней мере, очень быстро растущими начальными условиями. Однако чисто формальная запись в этих случаях интеграла Пуассона позволяет проин-

Сначала нам потребуется несколько общих соображений. Пусть имеется такая компактная кривая с простейшими двойными точками X, А(Г(Х)) > 3, каноническое отображение <рх которой является вложением В Р^-1 степени
й, = 2(д7 - 1), (1.5.1)

д1 = '£дт + Е-У + 1. (1.5.2)
«ей
(Для связной компактной кривой |Л| = 1, Ераг = 0.) Отметим на кривой X две неособые точки р и рп, получим новую пунктированную кривую Х°, и новую компактную кривую X, полученную из Л" склейкой точек Р1 и Р2 В двойную особую точку с ветвями р1 II Р'2- Согласно Предложению 1.4.1 и Следствию 1.4.1, канонические отображения для А'0 и ф для X совпадают, а каноническое отображение (рх является композицией <р° — ф и проектирования из точки р°{рх) — ф°{рг)- Следовательно, Ф является изоморфизмом ПОВСЮДУ, кроме, ВОЗМОЖНО, точек Рх И Р2- Поскольку
Нй(Х°,П1хо)=Н°(Х,П1х(р1+р2)), (1.5.3)
образ <р° имеет степень (17+2, поэтому обе ветви кривой <р°(Х) неособы, и, следовательно, <р° = ф является вложением. Мы доказали следующее полезное утверждение.
Лемма 1.5.1. Пусть связная компактная кривая X получена из связной компактной кривой X склеиванием двух неособых точек в одну простейшую двойную особую точку (так что двойственный модулярный граф Г(Х) получается из двойственного модулярного графа Г(Х) удалением одного ребра). Предположим, что А(Г(Х")) > 3 и что каноническое отображение (рх кривой X является вложением. Тогда каноническое отображение <рх кривой X также является вложением.
Поскольку, например, каноническое отображение неособой негипер-эллиптической кривой рода д > 2 является вложением, то же самое верно для соответствующих особых кривых.
Следствие 1.5.1. Каноническое отображение неприводимой компактной кривой X рода д > 2 с простейшими двойными особыми точками, нормализация которой негиперэллиптична, является вложением.