Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии групп

• Автор: Судоплатов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 320 с. : ил.

Введение и исторический обзор

Г л а в а 1. Теории с конечным числом счетных моделей

§ 1.1. Синтаксическая характеризация класса полных теорий с конечным числом

счетных моделей

§ 1.2. Несущественные совмещения и раскраски моделей

§ 1.3. Типовая редуцированность и властные типы

§ 1.4. Властные орграфы

§ 1.5. Синтаксические генерические конструкции

§ 1.6. Генерические теории с несимметричным отношением полуизолированности

§ 1.7. Генерические теории с неглавными властными типами

§ 1.8. Теория с тремя счетными моделями

§ 1.9. Реализация основных характеристик полных теорий с конечным числом
счетных моделей
§ 1.10. Теории с конечными предпорядками Рудииа-Кейслера
§ 1.11. Предпорядки подчинения в малых теориях
§ 1.12. Теории с неплотными структурами властных орграфов и теории с властными типами, не имеющие властных орграфов
Г л а в а 2. Полигонометрии групп
§ 2.1. Полигонометрии групп с особыми элементами
§ 2.2. Тригонометрии групп на проективной плоскости
§ 2.3. Вложения полигопометрий групп
§ 2.4. Полигонометрии пар групп
§ 2.5. Гомоморфизмы и фактор-полигонометрии
§ 2.6. Графы и полигонометрии
§ 2.7. Конечные полигонометрии
Г л а в а 3. Алгебраические системы и теории, связанные с полигонометриями
§ 3.1. Частичные алгебры,
ассоциированные с полигонометриями
§ 3.2. Группы автоморфизмов полигопометрий
§ 3.3. Полигонометрии групп и определимость
полигонометрий в алгебраических системах
§ 3.4. Полигонометрические теории
§ 3.5. Спектр теорий всюду конечно определенных полигонометрий
§ 3.6. Спектр ациклических теорий
со свойством расширения изоморфизмов
§3.7. ш-Стабильные тригонометрии на проективной плоскости
§ 3.8. Тригонометрии с функциями sin и cos
§ 3.9. Полигонометрии групп с условиями симметрии
§ 3.10. Обобщенные и нечеткие полигонометрии
§ 3.11. Цветные полигонометрии
§ 3.12. Транзитивные размещения алгебраических систем
Заключение
Список литературы
Алфавитный указатель

ВВЕДЕНИЕ И ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
1. Краткий обзор предшествующих исследований. Одной из основных задач современной теории моделей является решение спектральной проблемы, т.е. проблемы описания для различных классов теорий Т функций -ЦТ, А) числа попарно неизоморфных моделей теории Т в мощности А. Интерес к этой проблеме вызван прежде всего тем, что для ее решения требуется построение содержательной структурной теории.
Проблема описания функций спектра, а также классов теорий, зависящих от этих функций, привлекала и продолжает привлекать внимание широкой группы специалистов по теории моделей, составляя обширную область исследований. Это отражено в большом количестве работ, среди которых упомянем следующие: книги и диссертации
О. В. Белеградек [1]; С. С. Гончаров, Ю. Л. Ершов [3]; Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин [7]; Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн [10]; Дж. Сакс [20]; Справочная книга по математической логике [21]; Дж. Болдуин [29];
А. Пилай [38]; Б. Пуаза [39]; С. Шелах [40]; Ф. Вагнер [41]; статьи — С. С. Гончаров, М. Пурмахдиан [46]; Т. Г. Мустафин [51]; Б. Омаров [52]; Е. А. Палютин [54]; Е. А. Палютин, С. С. Старченко [55]; М. Г. Пе-ретятькин [56], [57]; А. Н. Ряскин [59]; Дж. Болдуин, А. Лахлаи [83]; М. Бенда [105]; С. Биклер [108]; Б. Харт, С. Старченко, М. Валери-от [121]; Б. Харт, Е. Хрушовский, М. Ласковский [122]; Б. Хервиг, Дж. Ловейс, А. Пилай, П. Танович, Ф. Вагнер [128]; Б. Хервиг [129]; Е. Хрушовский [138]; К. Икеда, А. Пилай, А. Цубои [143]; Б. Хусаинов,
А. Найес, Р. Шор [151]; Б. Ким [153]; А. Лахлан [157]; Д. Ласкар [159]; Дж. Ловейс, П. Танович [164]; Л. Лоу, А. Пилай [165]; Л. Майер [167]; Т. Миллар [169]—[172]; М. Морли [174], [175]; А. Пилай [180]—[184], [186], [187]; Р. Рид [196]; К. Рыль-Нардзевский [198]; Ю. Заффе [199], [200]; С. Шелах [201]; С. Шелах, Л. Харрингтон, М. Маккай [203]; С. Томас [216]; А. Цубои [217], [218]; П. Танович [213]; P. Boot [219]; Р. Вудроу [224], [225].

Как известно (см. С. Шелах [40]; Б. Харт, Е. Хрушовский, М. Лас-ковский [122]), спектральная проблема решена в целом для счетных полных теорий в несчетных мощностях Л.
До настоящего времени одной из малоисследованных проблем остается проблема описания числа 1{Т,ш) попарно неизоморфных счетных моделей теории Т для данных классов полных теорий. В этой связи следует отметить гипотезу Воота, согласно которой не существует теории Т с условием со < /(Т, to) < 2W. Эта гипотеза была подтверждена для теорий деревьев (Дж. Стил [206]), унаров (Л.Маркус [166]; А. Миллер [173]), многообразий (Б. Харт, С. Старченко, М. Ва-лериот [121]), для о-минимальных теорий (Л. Майер [167]), для теорий модулей над некоторыми кольцами (В. А. Пунинская [58], [193]; В. А. Пунинская, К. Тоффалори [194]). В классе стабильных теорий гипотеза Воота доказана для w-стабильных теорий (С. Шелах, Л. Харрингтон, М. Маккай [203]), для различных классов суперстабильных теорий (Е. Р. Байсалов [42], [43]; С. Биклер [108], [109]; Л. Лоу, А. Пи-лай [165]; Л. Невельский [176], [177], [178]), а также для 1-базируемых теорий с неизолированным типом над конечным множеством, который ортогонален пустому множеству (П. Танович [214]). Предпринимались попытки (см. Р. Найт [155]) построения примеров, опровергающих гипотезу Воота. Однако до настоящего времени проблема остается открытой.
Еще одной интересной гипотезой является гипотеза Пилая, согласно которой для счетной теории Т условие dcl(0) |= Т влечет /(Г, со) > и. А. Пилай [183] доказал эту гипотезу для стабильных теорий, а также установил (см. А. Пилай [180]), что из dcl(0) [= Т следует 1{Т,ы) > 4. П.Танович [215] показал, что гипотеза Пилая верна для теорий, не имеющих свойства строгого порядка.
В 1959 г. К. Рыль-Нардзевский [198] опубликовал свою знаменитую теорему, представляющую синтаксический критерий счетной категоричности теории (т.е. условия 1(Т,ш) = 1), согласно которому счетная категоричность теории эквивалентна конечному числу n-типов теории для каждого натурального числа п и фиксированного множества свободных переменных. Это означает, что каждая счетно категоричная теория определяется одной характеристикой, а именно, функцией Рылъ-Нардзееского, которая каждому натуральному числу п ставит в соответствие число типов от п фиксированных переменных.
Большое количество результатов связано с эренфойхтовыми теориями, т.е. теориями, имеющими конечное (> 1) число счетных моделей.

неглавный ТИП, изолируемый множеством формул {-1Со1Дж) | р < Л}.
Отметим, что в примере Эренфойхта теории Тз с тремя счетными моделями обогащение модели транзитивной теории ТЬ({^;<)) константами с*,, к € се, можно проинтерпретировать как несущественную раскраску Со1, заданную следующими условиями:
Легко заметить, что раскраска Col (^-упорядочена, где (р(х, у) ^ х <у. Кроме того отношение SIPoo на множестве реализаций властного типа Роо несимметрично, о чем свидетельствует формула р. В примерах Эренфойхта Т„, п > 4, константные обогащения моделей (Q; <, Ро,-.., Рп-з) также можно рассматривать как цветные модели с несущественными упорядоченными раскрасками.
Укажем достаточные условия того, что (^-упорядоченность 1-несу-щественной раскраски влечет несимметричность отношения SIPoo и это свойство выполняется посредством формулы (р.
Предложение 1.2.13. Пусть <р{х,у) — главная формула транзитивной теории Т, Col — 1 -несущественная (р-упорядочепная раскраска модели М теории Т такая, что если {МCol') = Th((.A4, Col)) и (М1, Col') = <р{а,Ъ), то (a,b) € IECT^, Q0jy Тогда для любой (некоторой) реализации а типа р^х) выполняются следующие условия:
1) если (= <р(а, Ъ), то (=Роо(Ь) и а полуизолирует Ъ;
2) если 1= <р(а, Ь) и = р,х(а), то Ъ не полуизолирует а.
Доказательство. 1. Предположим напротив, что |= Роо(а), |= <р(а, Ь) и ^ Роо(Ь). Тогда для некоторого р будет совместно множество {-iCol„(a;) | и < А}и{<^(ж,у), Со1Ду)} и, в частности, совместным будет множество {—>Со1^(ж) | v < р}и{р(х, у), Со1^(у)}. Тогда найдется а > р такое, что = Зж, у (ColДг/) А Со1а(ж) А ср(ж, у)), а это противоречит пункту б определения (^-упорядоченности раскраски Col. Таким образом, из |= <р(а, Ъ) следует |= Роо(Ь), и значит а полуизолирует Ь.
2. Предположим противное, т.е. (=Роо(а), = р{а,Ь) и b полуизолирует а. Из условия предложения следует, что формула <р{ж, Ь) не может свидетельствовать о полуизолированности элемента а над элементом Ь. С другой стороны найдется формула ^p(x,y) такая, что )= ф(а,Ь) и ф(х,Ь) Кроо(я)- При этом множество Роо (ж) Dpoo{y) U {<Дж, у) А?Дж, у)} совместно, а из неглавности типа Роо(т) следует совместность множества Роо(х) ирсо(у) U {