О приведенных регулярных непрерывных дробях

• Автор: Жабицкая, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Свойства приведенных регулярных непрерывных дробей
1.1 Свойства подходящих дробей
1.2 Лемма, характеризующая пару подходящих дробей
1.3 О числе решений системы
2 Средняя длина приведенной регулярной непрерывной дроби
2.1 Вспомогательные утверждения
2.2 Теорема 1. Формулировка и начало доказательства
2.3 Случай 1
2.4 Случай 2
2.5 Случай 3
2.6 Случай 4
2.7 Случай 5
2.8 Завершение доказательства
3 О множествах рациональных чисел с ограниченной суммой неполных частных
3.1 Последовательности Штерна-Броко

3.2 Сингулярные функции Денжуа-Тихого-Уитца .
3.3 Функция Мипковского
3.4 Общий вид формулы Салема
3.5 Теорема
3.6 Вспомогательные результаты
3.7 Доказательство теоремы
3.8 Непрерывные дроби с минимальными
остатками
3.9 Определение и свойства последовательности множеств 2п
3.10 Предельная функция распределения последовательности 2>п
3.11 Доказательство теоремы
3.12 Сингулярность функции Т'21(а;)
Список литературы

Введение
Одним из инструментов исследования в теории диофантовых приближений является аппарат непрерывных дробей. Статистические свойства разложения действительных чисел в непрерывные дроби исследовались еще Гауссом. В первой половине XX века этим вопросом занимались Кузьмин [7, 8], Хинчин [18, 19], Леви [30] и некоторые другие математики. Систематическое изложение теории цепных дробей есть, например, в книгах Перрона [34] и Хинчина [17].
Статистические свойства конечных цепных дробей исследовали Локс [31] и Хейльброи [27].
В последнее время к этим вопросам вновь проявился интерес. Здесь следует отметить ряд работ Быковского [4], Авдеевой [1, 3], Быковского и Авдеевой [2], Устинова [10, 11, 12, 13, 14].
Настоящая диссертация, в основном, посвящена исследованию статистических свойств конечных приведенных регулярных непрерывных дробей. Приведенной регулярной непрерывной дробью (ein reduziert-regalmaessiger Kettenbruch [34]) называется выражение следующего вида:
(to, П5 ^2) ■ ■ • Ль • * •) t0 - , (1)

v—4 и4 и 2тт
^ 2к{п + к) 4 g
fc<7l
n+k^U
UA и4 /г2 log2 2
+ _ log и (7 - log2) + — - 7log2 - +
+ у- + p(U) (1оё u + 7 — l°g 2) + О (t/2 log U) . (2.16) Доказательство. Разобьем первую сумму на две части
иА у у^ у- у^ иА
“ 2п(п+/с) “ 2n(n + А;) ^ 2n(n + fc)’
fc n+k^U
Найдем асимптотическую формулу для первой части (используем лемму 10 и формулу (2.4) следствия 2).
v " иА - w v
2п(п + /с) 2п(п + &) 4п
= ybg|l0S2 + y (log22 + 7log2-i2)) +
+f/3 (f ) log2 + l) “ T (<(2) ^ + °(p) ) +
Г/4 г/4 яг/
+ 0([/2) = — log U log 2 + — (7 log 2 — С(2)) -I—- I-
+ ^3p(f)log2 + 0(C/2), (2.17)
Найдем асимптотическую формулу для второй части. Для это-