Теоретико-модельные и смежные вопросы колец, ассоциированных с кольцом нильтреугольных матриц

• Автор: Минакова, Елизавета Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 57 с.

Содержание

Введение
Глава 1. Постановка задач и теоремы об изоморфизмах и элементарной эквивалентности колец нильтреугольных матриц

§ 1.1. Постановка задач и их состояние

§ 1.2. Усиление теоремы об изоморфизмах

колец нильтреугольных матриц

§ 1.3. Усиление теоремы Видела

Глава 2. Вопросы об элементарной эквивалентности унитреуголь-ных групп и ассоциированных колец Ли

§2.1. Метод ультрапроизведений

§ 2.2. Вопросы (А), (Б) для степени выше

§ 2.3. Случай коммутативных колец коэффициентов
Глава 3. Группа автоморфизмов и мальцевское соответствие для ассоциированных колец Йордана
§ 3.1. Мальцевское соответствие для колец Ли и Иордана нильтреугольных матриц
§ 3.2. Автоморфизмы ассоциированных колец Иордана
Список литературы
Наиболее употребительные обозначения

Введение
В диссертации взаимосвязано исследуются элементарная эквивалентность, автоморфизмы и изоморфизмы нильпотентных матричных колец и групп.
Зависимость элементарной эквивалентности и других модельных свойств линейных групп от свойств полей или колец коэффициентов, по-видимому, впервые стал изучать А.И. Мальцев. Соответствие между элементарными свойствами унитреугольной группы UT(d,K) степени 3 с выделенными параметрами и кольца коэффициентов К с единицей (не обязательно ассоциативного) установлено в статье [1]. Согласно [2], элементарная эквивалентность групп Gn, G = GL, PGL, SL или PSL, степеней n > 3 над полями нулевой характеристики переносится на поля коэффициентов.
Аналог теоремы А.И. Мальцева из [2] для случая первичных ассоциативных колец коэффициентов с 1/2 устанавливали К.И. Бейдар,
A.B. Михалев [3], а для групп Шевалле и их унипотентных подгрупп над полями характеристики 2,3 - К. Видэла [5], A.B. Михалев, Е.И. Бунина и др., см. обзор [4]. Методы А.И. Мальцева развивали Ю.Л. Ершов, Б. Роуз, О.В. Белеградек и др., [6] - [10]. Исследования теоретико-модельных свойств линейных групп и колец развивались с 70-х годов в тесной связи с теорией изоморфизмов.
Пусть К и £> - произвольные ассоциативные кольца с единицей. Унитреугольная группа иТ(п,К) представляется присоединенной группой кольца АТ(п, К) (нижних) нильтреугольных пхп матриц над К] изоморфизм дает отображение а —> е + а с единичной матрицей е. Зависимость элементарной эквивалентности колец нильтреугольных матриц АТ(п, К) = АТ (га, У) и унитреугольных групп от элементарных свойств колец коэффициентов вызывала интерес с 70-х годов. Группу автоморфизмов АиЬ Я кольца Я = А1Т(п, К) описал
В.М. Левчук в 1975 году. Пользуясь этим описанием и мальцевскнм соответствием, К. Видэла интерпретировал в кольце Я кольцо коэффициентов К и перенес элементарную эквивалентность: МТ(п, К) = АгТ(га, 5) (п > 3) 4Ф- п — т, К = Б, [11]. (Частный случай полей коэффициентов исследовали Роуз [7] и Велер [12].)
Аналогичные вопросы естественно возникают для ассоциированных кольца Ли А(Я) и Иордана О(Я). Свойство группы или кольца иметь ступень нильпотентности п сохраняется при элементарной эквивалентности. В диссертации исследуются следующие вопросы:
(A) Описать зависимость элементарной эквивалентности иТ(п, К) = иТ(п, 5) от элементарных свойств колец коэффициентов;
(Б) Описать связь элементарной эквивалентности колец Ли А(АТ(?г, А)) — Л(АгТ(тг, 5)) и элементарных свойств колец коэффициентов;
(B) Найти изоморфизмы йордановых колец и условия их элемен-

§ 2.3. Случай коммутативных колец коэффициентов
В этом параграфе вопрос (Б) решается для случая коммутативных колец коэффициентов. Следующая теорема показывает, что элементарная эквивалентность колец Ли нильтреугольных матриц над ассоциативно-коммутативными кольцами переносится на кольца коэффициентов.
Теорема 2.3.1. Пусть К, Я - ассоциативно-коммутативные кольца с единицами и п > 2. Тогда
Л(АгТ(гп, Я)) = А{МТ(п, К)) &п = т, 5 = К.
Положим Я = МТ(п, К) и Я' = МТ(т,Я). Как следствие из теоремы 2.2.2, мы получаем условия изоморфности ассоциированных колец Ли над коммутативными кольцами коэффициентов.
Лемма 2.3.2. Пусть К, Я - ассоциативно-коммутативные кольца с единицами, п > 2. Тогда
А (Л) ~ А(Я') & п = т, К ~ 5.
Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Равенство п — т вытекает из того, что изоморфизмы сохраняют ступень нильпотентности колец.